Πώς να αφαιρέσετε την περίμετρο ενός κύκλου;

Το περίμετρος ενός κύκλου είναι η τιμή της περιφέρειας της, η οποία μπορεί να εκφραστεί με έναν απλό μαθηματικό τύπο.

Στη γεωμετρία, το άθροισμα των πλευρών μιας επίπεδης μορφής είναι γνωστό ως η περίμετρος. Ο όρος προέρχεται από την ελληνική γλώσσα peri σημαίνει γύρω και μετρό μέτρο Ο κύκλος αποτελείται μόνο από μία πλευρά, χωρίς άκρες, είναι γνωστή ως περιφέρεια.

Ένας κύκλος είναι μια καθορισμένη περιοχή ενός επιπέδου, που οριοθετείται από έναν κύκλο. Η περιφέρεια είναι μια επίπεδη, κλειστή καμπύλη, όπου όλα τα σημεία της βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο.

Όπως φαίνεται στην εικόνα, αυτός ο κύκλος αποτελείται από ένα περιφέρειας C που οριοθετούν το επίπεδο σε μία σταθερή απόσταση από το κεντρικό σημείο ή προέλευσης O. Αυτή η σταθερή απόσταση από τον κύκλο για να την προέλευση, είναι γνωστό ως ένα ραδιόφωνο. 

Η εικόνα δείχνει επίσης D, η οποία είναι η διάμετρος. Είναι το τμήμα που ενώνει δύο σημεία της περιφέρειας που διέρχονται από το κέντρο του και έχει γωνία 180º.

Για να υπολογίσετε την περίμετρο ενός κύκλου, η λειτουργία εφαρμόζεται:

• P = 2r · π αν θέλουμε να το υπολογίσουμε με βάση την ακτίνα
• P = d · π αν θέλουμε να το υπολογίσουμε με βάση τη διάμετρο.

Αυτές οι λειτουργίες σημαίνουν ότι αν πολλαπλασιάσουμε την τιμή της διαμέτρου με τη μαθηματική σταθερά π, η οποία έχει μια τιμή περίπου 3,14. Λαμβάνουμε το μήκος της περιφέρειας.

Απόδειξη του υπολογισμού της περιμέτρου του κύκλου

Η επίδειξη του υπολογισμού της περιφέρειας πραγματοποιείται μέσω γεωμετρικών μορφών που έχουν εγγραφεί και περιγραφεί. Θεωρούμε ότι μια γεωμετρική μορφή εγγράφεται μέσα σε ένα κύκλο όταν οι κορυφές της βρίσκονται στην περιφέρεια.

Οι γεωμετρικές μορφές που περιγράφονται είναι εκείνες στις οποίες οι πλευρές μιας γεωμετρικής μορφής είναι εφαπτόμενες στην περιφέρεια. Αυτή η εξήγηση είναι πολύ πιο κατανοητή οπτικά.

Στο σχήμα μπορούμε να δούμε ότι οι πλευρές του τετραγώνου Α, είναι εφαπτομένη και στην περιφέρεια C. Επίσης, οι κορυφές του τετραγώνου Β βρίσκονται στην περιφέρεια C

Για να συνεχίσει τους υπολογισμούς μας, θα πρέπει να πάρετε την περίμετρο των τετραγώνων Α και Β Γνωρίζοντας την ακτίνα του κύκλου, μπορούμε να εφαρμόσουμε το γεωμετρικό κανόνα ότι το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών στο τετράγωνο είναι ίσο με το υποτείνουσα τετράγωνο. Με αυτόν τον τρόπο, η περίμετρος του εγγεγραμμένου τετραγώνου, Β, θα είναι ίση με 2r².

Για να το αποδείξουμε, θεωρούμε r ως ραδιόφωνο και h₁, η αξία της υποτείνουσας του τριγώνου που σχηματίζουμε. Εφαρμόζοντας τον προηγούμενο κανόνα πρέπει να h₁²= r²· R²= 2r². Για να πάρετε την τιμή της υποτείνουσας, μπορούμε να πάρουμε την τιμή της περιμέτρου της πλατείας Β Για τη διευκόλυνση των υπολογισμών στη συνέχεια, αφήστε την τιμή της υποτείνουσας ως η τετραγωνική ρίζα του 2 με r.

Για να υπολογίσετε την περίμετρο του τετραγώνου Οι υπολογισμοί είναι απλούστεροι, αφού το μήκος μιας πλευράς είναι ίσο με τη διάμετρο της περιφέρειας. Αν υπολογίσουμε το μέσο μήκος των δύο τετραγώνων, μπορούμε να κάνουμε μια προσέγγιση της τιμής της περιφέρειας C.

Αν υπολογίζουμε την τιμή της τετραγωνικής ρίζας του 2 συν 4, παίρνουμε μια κατά προσέγγιση τιμή 3,4142, αυτό είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό π, αλλά επειδή έχουμε κάνει μόνο μια απλή ρύθμιση με την περιφέρεια.

Για να ληφθούν τιμές πιο κοντά και περισσότερο προσαρμοσμένες στην τιμή της περιφέρειας, θα σχεδιάσουμε γεωμετρικά σχήματα με περισσότερες πλευρές έτσι ώστε να είναι μια ακριβέστερη τιμή. Μέσω οκταγωνικών σχημάτων η τιμή ρυθμίζεται με αυτόν τον τρόπο.

Μέσω των sine υπολογισμών του α μπορούμε να πάρουμε b₁ και β₂. Υπολογίζοντας κατά προσέγγιση το μήκος και των δύο οκτάγωνων χωριστά, τότε υπολογίζουμε τον μέσο όρο για να υπολογίσουμε την περιφέρεια. Μετά τους υπολογισμούς, η τελική τιμή που λαμβάνουμε είναι 3.3117, η οποία είναι πιο κοντά στο π.

Ως εκ τούτου, αν συνεχίσουμε υπολογισμοί μας μέχρι ένα ποσοστό του n πλευρές, μπορούμε να ρυθμίσουμε το μήκος της περιφέρειας και να καταλήξει σε μια κατά προσέγγιση τιμή των π, η οποία καθιστά η εξίσωση C = 2π · συμμόρφωση r.

Παράδειγμα

Αν έχουμε κύκλο με ακτίνα 5 cm, για να υπολογίσουμε την περίμετρο του, εφαρμόζουμε τους παραπάνω τύπους.

P = 2r · π = 2,5 · 3,14 = 31,4 cm.

Εάν εφαρμόσουμε τον γενικό τύπο, το αποτέλεσμα που λαμβάνεται είναι 31,4 cm για το μήκος της περιφέρειας.

Μπορούμε επίσης να το υπολογίσουμε με τον τύπο διαμέτρου, ο οποίος θα είναι:

P = d · π = 10 · 3,14 = 31,4 cm

Όπου d = r + r = 5 + 5 = 10

Αν το κάνουμε μέσω των τύπων των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων τετραγώνων, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την περίμετρο και των δύο τετραγώνων. 

Για να υπολογίσουμε το τετράγωνο Α, η πλευρά του τετραγώνου θα είναι ίση με τη διάμετρο, όπως είδαμε νωρίτερα, η αξία του είναι 10 cm. Για να υπολογίσουμε το τετράγωνο Β, χρησιμοποιούμε τον τύπο όπου το άθροισμα των τετράγωνων τετραγώνων ισούται με την τετραγωνική υποτείνουσα. Στην περίπτωση αυτή:

h²= r²+r²= 5²+5²= 25 + 25 = 50

h = √50

Αν το συμπεριλάβουμε στον τύπο των μέσων όρων:

Όπως μπορούμε να δούμε, η αξία είναι πολύ κοντά σε εκείνη που γίνεται με την κανονική φόρμουλα. Εάν ρυθμίσαμε με αριθμούς περισσότερων προσώπων, η τιμή κάθε φορά θα ήταν πιο κοντά στα 31,4 cm.

Αναφορές

1. SANGWIN, Chris J.; MATHS, Στατιστικά στοιχεία. NETWORK, O. R. Γεωμετρικές λειτουργίες: εργαλεία στο GeoGebra.Συνδέσεις MSOR, 2008, νοΙ. 8, αριθ. 4, σελ. 18-20.
2. BOSTOCK, Linda; ΤΣΑΝΤΕΡ, Σουζάν.Core maths για προχωρημένο επίπεδο. Nelson Thornes, 2000.
3. KENDAL, Margaret. STACEY, Kaye. Τριγωνομετρία: Συγκρίνοντας μεθόδους αναλογίας και μονάδας κύκλου. ΣτοΤεχνολογία στην Εκπαίδευση των Μαθηματικών. Πρακτικά 19ου Ετήσιου Συνεδρίου της Εκπαίδευσης για τα Μαθηματικά Ερευνητική ομάδα της Αυστραλασίας. σ. 322-329.
4. ΠΟΛΤΗ, Konrad. Μαθηματικά απεικόνισης-Μέσα στο μπουκάλι Klein.συν περιοδικό, 2003, νοΙ. 26.
5. WENTWORTH, Jorge; Σμιθ, Ντέιβιντ Ευγέν.Γεωμετρία αεροπλάνου και διαστήματος. Ginn, 1915.
6. CLEMENS, Stanley R.; O'DAFFER, Phares G.; COONEY, Thomas J.Γεωμετρία. Pearson Education, 1998.
7. CORTÁZAR, Χουάν.Συνθήκη στοιχειώδους γεωμετρίας. Imp. Από τον Antonio Peñuelas, 1864.