Τεχνικές τεχνικής μέτρησης, εφαρμογές και παραδείγματα



Το τεχνικές καταμέτρησης είναι μια σειρά μεθόδων πιθανότητας για να μετρήσετε τον πιθανό αριθμό ρυθμίσεων μέσα σε ένα σετ ή σε πολλά σύνολα αντικειμένων. Αυτά χρησιμοποιούνται όταν κάνετε τους λογαριασμούς χειροκίνητα καθίσταται περίπλοκος λόγω του μεγάλου αριθμού αντικειμένων ή / και μεταβλητών.

Για παράδειγμα, η λύση αυτού του προβλήματος είναι πολύ απλή: φανταστείτε ότι ο αρχηγός σας σας ζητά να μετρήσετε τα τελευταία προϊόντα που έχουν φτάσει την τελευταία ώρα. Σε αυτή την περίπτωση θα μπορούσατε να πάτε και να μετρήσετε τα προϊόντα ένα προς ένα.

Ωστόσο, φανταστείτε ότι το πρόβλημα είναι αυτό: ο προϊστάμενός σας σας ζητάει να μετρήσετε πόσες ομάδες 5 προϊόντων του ίδιου τύπου μπορούν να σχηματιστούν με όσους έφτασαν την τελευταία ώρα. Σε αυτή την περίπτωση, ο υπολογισμός γίνεται περίπλοκος. Οι λεγόμενες τεχνικές μέτρησης χρησιμοποιούνται για αυτό το είδος της κατάστασης.  

Αυτές οι τεχνικές είναι πολλές, αλλά οι σημαντικότερες χωρίζονται σε δύο βασικές αρχές, οι οποίες είναι το πολλαπλασιαστικό και το πρόσθετο. παραλλαγές και συνδυασμοί.

Ευρετήριο

  • 1 πολλαπλασιαστική αρχή
    • 1.1 Εφαρμογές
    • 1.2 Παράδειγμα
  • 2 Αρχή προσθέτων 
    • 2.1 Εφαρμογές
    • 2.2 Παράδειγμα
  • 3 Μεταβολές
    • 3.1 Εφαρμογές
    • 3.2 Παράδειγμα
  • 4 Συνδυασμοί
    • 4.1 Εφαρμογές
    • 4.2 Παράδειγμα
  • 5 Αναφορές 

Αρχή πολλαπλασιασμού

Εφαρμογές

Η πολλαπλασιαστική αρχή, μαζί με το πρόσθετο, είναι βασικές για να κατανοήσουμε τη λειτουργία των τεχνικών καταμέτρησης. Στην περίπτωση του πολλαπλασιαστή, αποτελείται από τα ακόλουθα:

Φανταστείτε μια δραστηριότητα που περιλαμβάνει ένα συγκεκριμένο αριθμό βημάτων (το συνολικό σήμα ως «r»), όπου το πρώτο βήμα μπορεί να γίνει με τρόπους Ν1, Ν2 δεύτερο βήμα, και το στάδιο «r» Nr τρόπους. Σε αυτή την περίπτωση, η δραστηριότητα θα μπορούσε να εκτελεστεί από τον αριθμό των μορφών που προκύπτουν από αυτή τη λειτουργία: N1 x N2 x ... x.

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η αρχή αυτή ονομάζεται πολλαπλασιαστικό και υπονοεί ότι κάθε ένα από τα βήματα που απαιτούνται για τη διεξαγωγή της δραστηριότητας πρέπει να γίνει το ένα μετά το άλλο. 

Παράδειγμα

Ας φανταστούμε ένα άτομο που θέλει να οικοδομήσει ένα σχολείο. Για να γίνει αυτό, θεωρήστε ότι η βάση του κτιρίου μπορεί να κατασκευαστεί με δύο διαφορετικούς τρόπους, τσιμέντο ή σκυρόδεμα. Όσο για τους τοίχους, μπορούν να φτιαχτούν από κόλλα, τσιμέντο ή τούβλο.

Όσο για την οροφή, μπορεί να κατασκευαστεί από τσιμέντο ή γαλβανισμένο φύλλο. Τέλος, η τελική ζωγραφική μπορεί να γίνει μόνο με έναν τρόπο. Το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: Πόσοι τρόποι πρέπει να οικοδομήσει το σχολείο;?

Πρώτον, εξετάζουμε τον αριθμό των βημάτων, τα οποία θα είναι η βάση, οι τοίχοι, η οροφή και η ζωγραφική. Συνολικά, 4 βήματα, έτσι r = 4.

Το παρακάτω θα ήταν να απαριθμήσετε το N:

N1 = τρόποι κατασκευής της βάσης = 2

N2 = τρόποι κατασκευής των τειχών = 3

N3 = τρόποι κατασκευής της οροφής = 2

N4 = τρόποι να γίνει χρώμα = 1

Επομένως, ο αριθμός των δυνατών μορφών θα υπολογίζεται από τον τύπο που περιγράφηκε παραπάνω:

Ν1 x Ν2 x Ν3 x Ν4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 τρόποι ολοκλήρωσης του σχολείου.

Πρόσθετη αρχή

Εφαρμογές

Αυτή η αρχή είναι πολύ απλή, και είναι ότι, σε περίπτωση που υπάρχουν πολλές εναλλακτικές λύσεις για να εκτελέσει την ίδια δραστηριότητα, τους δυνατούς τρόπους είναι το άθροισμα των διαφόρων πιθανών τρόπων για να κάνει όλες τις εναλλακτικές λύσεις.

Με άλλα λόγια, αν μπορούμε να εκτελέσουμε μια δραστηριότητα τρεις εναλλακτικές λύσεις, όπου η πρώτη εναλλακτική λύση μπορεί να πραγματοποιηθεί Μ μορφές, το δεύτερο Ν μορφές και τελευταία W μορφές, η δραστηριότητα μπορεί να πραγματοποιηθεί: Μ + Ν + ... + W μορφές.

Παράδειγμα

Φανταστείτε αυτή τη φορά ένα άτομο που θέλει να αγοράσει μια ρακέτα του τένις. Για αυτό, έχει τρεις μάρκες για να επιλέξει από: Wilson, Babolat ή Head.

Όταν πηγαίνει στο κατάστημα βλέπει ότι μπορεί να αγοραστεί με Wilson ρακέτα χειρίζονται δύο διαφορετικά μεγέθη, L2 ή L3 σε τέσσερα διαφορετικά μοντέλα και μπορεί να αρμαθιές ή εκνευρισμένος.

Η Babolat, όμως, έχει τρεις λαβές (L1, L2 και L3), δύο διαφορετικά μοντέλα και μπορεί επίσης να αρμαθιές ή εκνευρισμένος.

Η ρακέτα Head, από την άλλη πλευρά, είναι μόνο με μία λαβή, το L2, σε δύο διαφορετικά μοντέλα και μόνο χωρίς χορδές. Το ερώτημα είναι: Πόσοι τρόποι έχει αυτός ο άνθρωπος να αγοράσει την ρακέτα του;?

M = Αριθμός τρόπων επιλογής μιας ρακέτας Wilson

N = Αριθμός τρόπων επιλογής μίας ρακέτας Babolat

W = Αριθμός τρόπων επιλογής επικεφαλής ρακέτας

Κάνουμε την αρχή του πολλαπλασιαστή:

Μ = 2 x 4 χ 2 = 16 μορφές

Ν = 3 x 2 x 2 = 12 μορφές

W = 1 x 2 x 1 = 2 μορφές

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 τρόποι να επιλέξετε μια ρακέτα.

Για να ξέρετε πότε θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε την αρχή πολλαπλασιαστική και πρόσθετο μόνο που πρέπει να εξετάσουμε κατά πόσο η δραστηριότητα έχει μια σειρά από βήματα που πρέπει να εκτελεστούν, και αν υπάρχουν αρκετές εναλλακτικές λύσεις, το πρόσθετο.

Μετατροπές

Εφαρμογές

Για να καταλάβουμε τι είναι μια μετάθεση, είναι σημαντικό να εξηγήσουμε τι είναι ένας συνδυασμός για να τα διαφοροποιήσουμε και να γνωρίζουμε πότε να τα χρησιμοποιήσουμε.

Ένας συνδυασμός θα ήταν μια διάταξη στοιχείων στα οποία δεν μας ενδιαφέρει η θέση που καταλαμβάνει ο καθένας.

Μια μεταλλαγή, από την άλλη πλευρά, θα ήταν μια διάταξη στοιχείων στην οποία μας ενδιαφέρει η θέση που καταλαμβάνει καθένα από αυτά.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για να κατανοήσουμε καλύτερα τη διαφορά.

Παράδειγμα

Φανταστείτε μια τάξη με 35 μαθητές και με τις ακόλουθες περιπτώσεις:

  1. Ο δάσκαλος θέλει τρεις από τους μαθητές του να τον βοηθήσουν να κρατήσει την τάξη καθαρή ή να παραδώσει υλικά σε άλλους μαθητές όταν το χρειάζεται.
  2. Ο δάσκαλος θέλει να διορίσει τους εκπροσώπους της τάξης (πρόεδρος, βοηθός και χρηματοδότης).

Η λύση θα είναι η ακόλουθη:

  1. Φανταστείτε ότι με την ψήφο Juan, María και Lucía έχουν επιλεγεί για να καθαρίσουν την τάξη ή να παραδώσουν τα υλικά. Προφανώς, άλλες ομάδες τριών ατόμων θα μπορούσαν να έχουν σχηματιστεί μεταξύ των 35 πιθανών μαθητών.

Πρέπει να αναρωτηθούμε τα εξής: είναι σημαντική η τάξη ή η θέση που κάθε ένας από τους σπουδαστές καταλαμβάνει κατά τη στιγμή της επιλογής τους;?

Εάν το σκεφτούμε, βλέπουμε ότι δεν είναι πραγματικά σημαντικό, αφού η ομάδα θα φροντίσει και τα δύο καθήκοντα εξίσου. Σε αυτή την περίπτωση, είναι ένας συνδυασμός, αφού δεν μας ενδιαφέρει η θέση των στοιχείων.

  1. Τώρα φανταστείτε ότι ο Ιωάννης έχει επιλεγεί ως πρόεδρος, η Μαρία ως βοηθός και η Λουκία ως οικονομική.

Σε αυτή την περίπτωση, θα ήθελε η παραγγελία; Η απάντηση είναι ναι, διότι αν αλλάξουμε τα στοιχεία, το αποτέλεσμα αλλάζει. Δηλαδή, αν αντί να βάλουμε τον Juan ως πρόεδρο, τον βάζουμε ως βοηθό και η Μαρία ως πρόεδρος, το τελικό αποτέλεσμα θα αλλάξει. Σε αυτή την περίπτωση πρόκειται για μια μετάθεση.

Μόλις κατανοηθεί η διαφορά, θα λάβουμε τους τύπους των μεταλλαγών και συνδυασμών. Ωστόσο, πρώτα πρέπει να ορίσουμε τον όρο "n!" (Σε factorial), αφού θα χρησιμοποιηθεί στους διάφορους τύπους.

n! = στο προϊόν από 1 έως n.

n! = 1 χ 2 χ 3 χ 4 χ ... χ η

Χρησιμοποιώντας το με πραγματικούς αριθμούς:

10! = 1 χ 2 χ 3 χ 4 χ ... χ 10 = 3.628.800

 5! = 1 χ 2 χ 3 χ 4 χ ... χ 5 = 120

Ο τύπος των μεταβολών θα είναι ο ακόλουθος:

nPr = η / (η-ί)!

Με αυτό μπορούμε να μάθουμε τις ρυθμίσεις όπου η σειρά είναι σημαντική και όπου τα στοιχεία n είναι διαφορετικά.

Συνδυασμοί

Εφαρμογές

Όπως έχουμε σχολιάσει προηγουμένως, οι συνδυασμοί είναι οι ρυθμίσεις όπου δεν μας ενδιαφέρει η θέση των στοιχείων.

Ο τύπος του είναι ο ακόλουθος:

nCr = n! / (η-r)! r!

Παράδειγμα

Αν υπάρχουν 14 μαθητές που θέλουν να προσφέρουν εθελοντικά να καθαρίσουν την τάξη, πόσες ομάδες καθαρισμού μπορεί να σχηματίσει κάθε ομάδα από 5 άτομα;?

Η λύση, επομένως, θα ήταν η εξής:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14-5)! 5! = 14! / 9! 5! = Ομάδες 14x13x12x11x10x9! / 9! 5! = 2002

Αναφορές

  1. Jeffrey, R.C.., Πιθανότητα και τέχνη της κρίσης, Cambridge University Press. (1992).
  2. William Feller, "Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων και στις Εφαρμογές της", (Τόμος 1), 3η έκδοση, (1968), Wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). "Λογικές βάσεις και μέτρηση της υποκειμενικής πιθανότητας". Ψυχολογικός νόμος.
  4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Εισαγωγή στη Μαθηματική Στατιστική (6η έκδ.). Ποταμός Άνω Σέλας: Πίαρσον.
  5. Franklin, J. (2001) Η Επιστήμη της Εικασίας: Στοιχεία και Πιθανότητες Πριν από τον Pascal,Πανεπιστημιακός Τύπος Johns Hopkins.