Μείωση παρόμοιων όρων (με επιλυμένες ασκήσεις)

Το μείωση παρόμοιων όρων είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για την απλοποίηση των αλγεβρικών εκφράσεων. Σε μια αλγεβρική έκφραση, παρόμοιες είναι αυτές που έχουν την ίδια μεταβλητή. δηλαδή, έχουν τα ίδια άγνωστα που αντιπροσωπεύει ένα γράμμα, και αυτά έχουν τους ίδιους εκθέτες.

Σε ορισμένες περιπτώσεις τα πολυώνυμα είναι εκτεταμένα και για να φτάσετε σε μια λύση θα πρέπει να προσπαθήσετε να μειώσετε την έκφραση. αυτό είναι δυνατό, όταν υπάρχουν όροι οποία είναι παρόμοια, τα οποία μπορούν να συνδυαστούν χρησιμοποιώντας αλγεβρικές ιδιότητες και λειτουργίες όπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση.

Ευρετήριο

• 1 Επεξήγηση
• 2 Πώς να μειώσετε παρόμοιους όρους?
  • 2.1 Παράδειγμα
  • 2.2 Μείωση παρόμοιων όρων με ισοδύναμα σημεία
  • 2.3 Μείωση παρόμοιων όρων με διαφορετικά σημεία
• 3 Μείωση παρόμοιων όρων στις λειτουργίες
  • 3.1 Στα ποσά
  • 3.2 Αφαίρεση
  • 3.3 Σε πολλαπλασιασμούς
  • 3.4 Στα τμήματα
• 4 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 4.1 Πρώτη άσκηση
  • 4.2 Δεύτερη άσκηση
• 5 Αναφορές

Επεξήγηση

Παρόμοιες εκφράσεις σχηματίζονται από τις ίδιες μεταβλητές με τους ίδιους εκθέτες, και σε ορισμένες περιπτώσεις αυτές διαφοροποιούνται μόνο από τους αριθμητικούς τους συντελεστές.

Παρόμοιοι όροι θεωρούνται επίσης εκείνοι που δεν έχουν μεταβλητές. δηλαδή, εκείνους τους όρους που έχουν μόνο σταθερές. Έτσι, για παράδειγμα, τα ακόλουθα είναι όμοια:

- 6x² - 3 φορές². Και οι δύο όροι έχουν την ίδια μεταβλητή x².

- 4α²β³ + 2α²β³. Και οι δύο όροι έχουν τις ίδιες μεταβλητές²β³.

- 7 - 6. Οι όροι είναι σταθεροί.

Αυτοί οι όροι που έχουν τις ίδιες μεταβλητές αλλά με διαφορετικούς εκθέτες ονομάζονται μη παρόμοιοι όροι, όπως:

- 9α²b + 5ab. Οι μεταβλητές έχουν διαφορετικούς εκθέτες.

- 5χ + γ. Οι μεταβλητές είναι διαφορετικές.

- b - 8. Ένας όρος έχει μία μεταβλητή, η άλλη είναι μια σταθερά.

Προσδιορίζοντας τους παρόμοιους όρους που σχηματίζουν ένα πολυώνυμο, αυτές μπορούν να μειωθούν σε ένα, συνδυάζοντας όλες εκείνες που έχουν τις ίδιες μεταβλητές με ίσους εκθέτες. Με τον τρόπο αυτό, η έκφραση απλοποιείται μειώνοντας τον αριθμό των όρων που την συνθέτουν και διευκολύνεται ο υπολογισμός της λύσης.

Πώς να μειώσετε παρόμοιους όρους?

Η μείωση παρόμοιων όρων γίνεται με την εφαρμογή της συνεταιριστικής ιδιότητας της προσθήκης και της διανεμητικής ιδιότητας του προϊόντος. Χρησιμοποιώντας την ακόλουθη διαδικασία μπορεί να γίνει μείωση των όρων:

- Πρώτα οι όμοιοι όροι ομαδοποιούνται.

- Οι συντελεστές (οι αριθμοί που συνοδεύουν τις μεταβλητές) των παρόμοιων όρων προστίθενται ή αφαιρούνται και εφαρμόζονται οι συσχετιστικές, μεταβλητές ή κατανεμητικές ιδιότητες, ανάλογα με την περίπτωση..

- Μετά τη γραφή των νέων όρων, τοποθετώντας μπροστά τους το σύμβολο που προέκυψε από τη λειτουργία.

Παράδειγμα

Μειώστε τους όρους της ακόλουθης έκφρασης: 10x + 3y + 4x + 5y.

Λύση

Πρώτον, οι όροι διατάσσονται για να ομαδοποιήσουν όσα είναι παρόμοια, εφαρμόζοντας το commutative property:

10χ + 3γ + 4χ + 5γ = 10χ + 4χ + 3γ + 5γ.

Στη συνέχεια εφαρμόζεται η διανεμητική ιδιότητα και προστίθενται οι συντελεστές που συνοδεύουν τις μεταβλητές για να επιτευχθεί η μείωση των όρων:

10χ + 4χ + 3γ + 5γ

= (10 + 4) χ + (3 + 5) και

= 14χ + 8γ.

Για να μειώσουμε παρόμοιους όρους, είναι σημαντικό να λάβουμε υπόψη τα σημάδια ότι έχουν τους συντελεστές που συνοδεύουν τη μεταβλητή. Υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις:

Μείωση παρόμοιων όρων με ίσα σημεία

Στην περίπτωση αυτή προστίθενται οι συντελεστές και πριν από το αποτέλεσμα τοποθετείται το σημάδι των όρων. Επομένως, εάν είναι θετικές, οι προκύπτοντες όροι θα είναι θετικοί. στην περίπτωση που οι όροι είναι αρνητικοί, το αποτέλεσμα θα έχει το σύμβολο (-) συνοδευόμενο από τη μεταβλητή. Για παράδειγμα:

α) 22ab² + 12ab² = 34 ab².

β) -18χ³ - 9x³ - 6 = -27χ³ - 6.

Μείωση παρόμοιων όρων γσε διαφορετικά σημεία

Στην περίπτωση αυτή αφαιρούνται οι συντελεστές και μπροστά από το αποτέλεσμα τοποθετείται το σημάδι του μεγαλύτερου συντελεστή. Για παράδειγμα:

α) 15χ²και - 4x²και + 6χ²και - 11x²και

= (15χ²και + 6χ²γ) + (- 4χ²και - 11x²γ)

= 21χ²y + (-15x²γ)

= 21χ²και - 15x²και

= 6χ²και.

β) -5α³β + 3 α³β - 4α³b + a³β

= (3 α³b + a³b) + (-5α³β - 4α³β)

= 4α³b - 9α³β

= -5 α³β.

Με αυτό τον τρόπο, για να μειωθούν όμοιοι όροι που έχουν διαφορετικά σημάδια, σχηματίζεται ένας μόνο πρόσθετος όρος με όλους αυτούς με θετικό πρόσημο (+), προστίθενται οι συντελεστές και το αποτέλεσμα συνοδεύεται από τις μεταβλητές.

Ομοίως, ένα αφαιρετικό όρος διαμορφώνεται με εκείνα όρους που έχουν αρνητικό πρόσημο (-), οι συντελεστές αθροίζονται και το αποτέλεσμα συνοδεύεται από τις μεταβλητές.

Τέλος αφαιρούνται τα ποσά των δύο όρων που σχηματίζονται και το αποτέλεσμα είναι το σημάδι του μεγαλύτερου.

Μείωση παρόμοιων όρων στις λειτουργίες

Η μείωση παρόμοιων όρων είναι μια λειτουργία της άλγεβρας, η οποία μπορεί να εφαρμοστεί επιπλέον, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και αλγεβρική διαίρεση.

Στα ποσά

Όταν έχετε πολλά πολυώνυμα με παρόμοιους όρους, για να τα μειώσετε, παραγγείλετε τους όρους κάθε πολυωνύμου κρατώντας τα σημάδια του, στη συνέχεια γράφοντας το ένα μετά το άλλο και μειώνοντας τους παρόμοιους όρους. Για παράδειγμα, έχουμε τα ακόλουθα πολυώνυμα:

3x - 4xy + 7χ²και + 5xy².

- 6x²και - 2xy + 9 xy² - 8x.

Κατά την αφαίρεση

Για να αφαιρέσουμε ένα πολυώνυμο από ένα άλλο, γράφεται το minuend και στη συνέχεια υποβιβάζεται με τα αλλαγμένα σημάδια του, και στη συνέχεια γίνεται η μείωση των παρόμοιων όρων. Για παράδειγμα:

5α³ - 3ab² + 3b²γ

6ab² + 2α³ - 8b²γ

Έτσι, τα πολυώνυμα συνοψίζονται στο 3α³ - 9ab² + 11b²γ.

Σε πολλαπλασιασμούς

Σε ένα προϊόν πολυωνύμων πολλαπλασιάζονται οι όροι που συνθέτουν τον πολλαπλασιαστή για κάθε όρο που σχηματίζει τον πολλαπλασιαστή, λαμβάνοντας υπόψη ότι τα σημάδια πολλαπλασιασμού παραμένουν τα ίδια εάν είναι θετικά.

Θα αλλάζουν μόνο όταν πολλαπλασιάζονται με έναν αρνητικό όρο. δηλαδή, όταν πολλαπλασιάζονται δύο όροι του ίδιου σημείου, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό (+), και όταν έχουν διαφορετικές ενδείξεις το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό (-).

Για παράδειγμα:

α) (α + β) _* (α + β)

= α² + ab + ab + β²

= α² + 2ab + β².

β) (α + β) _* (α-β)

= α² - ab + ab - β²

= α² - β².

γ) (α-β) _* (α-β)

= α² - ab - ab + β²

= α² - 2ab + β².

Σε τμήματα

Όταν θέλετε να μειώσετε δύο πολυώνυμα μέσω μιας διαίρεσης, πρέπει να βρείτε ένα τρίτο πολυώνυμο που, όταν πολλαπλασιάζεται με το δεύτερο (διαιρέτης), έχει ως αποτέλεσμα το πρώτο πολυώνυμο (μέρισμα).

Για το λόγο αυτό, οι όροι του μερίσματος και του διαιρέτη πρέπει να παραγγελθούν, από αριστερά προς τα δεξιά, έτσι ώστε οι μεταβλητές και στις δύο να είναι της ίδιας τάξης.

η διαίρεση εκτελείται έπειτα, ξεκινώντας από το πρώτο όρο στα αριστερά του μερίσματος από την πρώτη προς τα αριστερά του διαιρέτη, λαμβάνοντας υπόψη τις ενδείξεις του κάθε όρου.

Για παράδειγμα, μειώστε το πολυώνυμο: 10x⁴ - 48χ³και + 51χ²και² + 4xy³ - 15ε⁴ διαιρώντας το μεταξύ του πολυωνύμου: -5x² + 4xy + 3y².

Το προκύπτον πολυώνυμο είναι -2x² + 8xy - 5y².

Επιλυμένες ασκήσεις

Πρώτη άσκηση

Μειώστε τους όρους της δεδομένης αλγεβρικής έκφρασης:

15α² - 8ab + 6α² - 6ab - 9 + 4α² - 13 ab.

Λύση

Χρησιμοποιείται η μεταβλητή ιδιότητα του ποσού, ομαδοποιώντας τους όρους που έχουν τις ίδιες μεταβλητές:

15α² - 8ab + 6α² - 6ab + 9 + 4α² - 13

= (15α² + 6α² + 4α²) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Στη συνέχεια εφαρμόζεται η διανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού:

15α² - 8ab + 6α² - 6ab + 9 + 4α² - 13

= (15 + 6 + 4) α² + (- 8 - 6) ab + (9-13).

Τέλος, απλουστεύονται προσθέτοντας και αφαιρώντας τους συντελεστές κάθε όρου:

15α² - 8ab + 6α² - 6ab + 9 + 4α² - 13

= 25α² - 14ab - 4.

Δεύτερη άσκηση

Απλοποιήστε το προϊόν των ακόλουθων πολυωνύμων:

(8x³ + 7xy²)_*(8x³ - 7 xy²).

Λύση

Πολλαπλασιάστε κάθε όρο του πρώτου πολυωνύμου με το δεύτερο, λαμβάνοντας υπόψη ότι τα σημάδια των όρων είναι διαφορετικά. ως εκ τούτου, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του θα είναι αρνητικό, καθώς και οι νόμοι των εκθετών θα πρέπει να εφαρμόζονται.

(8x³ + 7xy²) _* (8x³ - 7xy²)

= 64χ⁶ - 56 x³_* xy² + 56 x³_* xy² - 49 x²και⁴

= 64χ⁶ - 49 x²και⁴.

Αναφορές

1. Angel, Α. R. (2007). Στοιχειώδης άλγεβρα Εκπαίδευση Pearson,.
2. Baldor, Α. (1941). Άλγεβρα Αβάνα: Πολιτισμός.
3. Jerome E. Kaufmann, Κ. L. (2011). Στοιχειώδης και Ενδιάμεση Άλγεβρα: Συνδυασμένη Προσέγγιση. Φλόριντα: Εκμάθηση των υπηρεσιών.
4. Smith, S.A. (2000). Άλγεβρα Εκπαίδευση Pearson.
5. Vigil, C. (2015). Η άλγεβρα και οι εφαρμογές της.