Τι είδους ολοκληρωτών υπάρχουν;

Το τύποι ολοκληρωμάτων που βρίσκουμε στον υπολογισμό είναι: Απεριόριστα ολοκληρωτικά και καθορισμένα ολοκληρωτικά. Αν και τα ολοκληρωμένα ολοκληρώματα έχουν πολλές περισσότερες εφαρμογές από τα αόριστα ολοκληρώματα, είναι απαραίτητο να μάθουμε πρώτα να λύσουμε αόριστα ολοκληρώματα.

Μία από τις πιο ελκυστικές εφαρμογές συγκεκριμένων ολοκληρωμάτων είναι ο υπολογισμός του όγκου ενός στερεού περιστροφής.

Και οι δύο τύποι ολοκληρωμάτων έχουν τις ίδιες ιδιότητες γραμμικότητας και επίσης οι τεχνικές ενσωμάτωσης δεν εξαρτώνται από τον τύπο ολοκλήρωσης.

Αλλά παρόλο που είναι πολύ παρόμοια, υπάρχει μια βασική διαφορά. στον πρώτο τύπο ολοκλήρου το αποτέλεσμα είναι μια συνάρτηση (η οποία δεν είναι συγκεκριμένη) ενώ στον δεύτερο τύπο το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός.

Δύο βασικοί τύποι ενοτήτων

Ο κόσμος των ολοκληρωμάτων είναι πολύ ευρύς αλλά μέσα σε αυτό μπορούμε να διακρίνουμε δύο βασικούς τύπους ολοκληρωμάτων, που έχουν μεγάλη δυνατότητα εφαρμογής στην καθημερινή ζωή.

1- Απεριόριστα ολοκληρωτικά

Αν το F (x) = f (x) για όλα τα x στην περιοχή του f, λέμε ότι το F (x) είναι ένα αντίθετο, ένα πρωτόγονο ή ένα ολοκλήρωμα του f (x).

Από την άλλη πλευρά, παρατηρούμε ότι το F (x) + C) '= F' (x) = f (x) σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης δεν είναι μοναδικό. αντιπαραγωγικά.

Για το λόγο αυτό ο F (x) + C ονομάζεται αορίστου ολοκλήρου του f (x) και το C ονομάζεται σταθερά ολοκλήρωσης και το γράφουμε με τον ακόλουθο τρόπο

Όπως μπορούμε να δούμε, το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f (x) είναι μια οικογένεια λειτουργιών.

Για παράδειγμα, αν θέλετε να υπολογίσετε το απεριόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f (x) = 3x², πρέπει πρώτα να βρείτε ένα αντίθετο από το f (x).

Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι το F (x) = x 3 είναι αντίθετο, αφού F '(x) = 3x². Ως εκ τούτου, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι

∫f (x) dx = ∫3x2dx = x3 + C.

2- Ορισμένα ολοκληρωτικά

Έστω ότι y = f (x) είναι μια πραγματική συνάρτηση, συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a, b] και αφήστε F (x) να είναι ένα αντιπαράγοντας της f (x). Ονομάζεται οριστικό ολοκλήρωμα του f (x) μεταξύ των ορίων a και b στον αριθμό F (b) -F (a) και συμβολίζεται ως εξής

Ο τύπος που παρουσιάζεται παραπάνω είναι περισσότερο γνωστός ως "Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού". Εδώ το "a" καλείται το κατώτερο όριο και το "b" καλείται το ανώτερο όριο. Όπως μπορείτε να δείτε, το καθορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης είναι ένας αριθμός.

Σε αυτή την περίπτωση, αν υπολογιστεί το καθορισμένο ολοκλήρωμα του f (x) = 3x² στο διάστημα [0,3], θα ληφθεί ένας αριθμός.

Για τον προσδιορισμό αυτού του αριθμού επιλέγουμε F (x) = x 3 ως ανερχόμενο από f (x) = 3x². Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το F (3) -F (0) που μας δίνει το αποτέλεσμα 27-0 = 27. Συμπερασματικά, το οριστικό ολοκλήρωμα του f (x) στο διάστημα [0,3] είναι 27.

Μπορούμε να υπογραμμίσουμε ότι αν επιλέξουμε G (x) = x 3 + 3, τότε το G (x) είναι αντίθετο από το f (x) διαφορετικό από το F (x), αλλά αυτό δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα αφού G (3) 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Για το λόγο αυτό, στα καθορισμένα ολοκληρώματα η σταθερά ενσωμάτωσης δεν εμφανίζεται.

Μια από τις πιο χρήσιμες εφαρμογές που έχει αυτός ο τύπος ολοκλήρου είναι ότι επιτρέπει τον υπολογισμό της περιοχής (όγκου) ενός επίπεδου αριθμού (ενός στερεού της περιστροφής), καθορίζοντας τις κατάλληλες λειτουργίες και τα όρια ολοκλήρωσης (και έναν άξονα περιστροφής).

Μέσα στα καθορισμένα ολοκληρώματα μπορούμε να βρούμε διάφορες επεκτάσεις αυτού, όπως για παράδειγμα ολοκληρώματα γραμμών, ολοκληρώματα επιφανειών, ακατάλληλα ολοκληρώματα, πολλαπλά ολοκληρώματα, μεταξύ άλλων, όλα με πολύ χρήσιμες εφαρμογές στην επιστήμη και τη μηχανική.

Αναφορές

1. Casteleiro, J. Μ. (2012). Είναι εύκολο να ενσωματωθεί; Αυτοδίδακτο εγχειρίδιο. Μαδρίτη: ESIC.
2. Casteleiro, J.M. & Gomez-Alvarez, R.P. (2002). Πλήρης υπολογισμός (Illustrated ed.). Μαδρίτη: ESIC Editorial.
3. Fleming, W. & Varberg, D.E. (1989). Μαθηματικά Precalculus. PTR Prentice Hall.
4. Fleming, W. & Varberg, D.E. (1989). Μαθήματα Precalculus: προσέγγιση επίλυσης προβλημάτων (2, Illustrated ed.). Μίτσιγκαν: αίθουσα Prentice.
5. Kishan, Η. (2005). Ολοκληρωμένος υπολογισμός. Ατλαντικοί Εκδότες και Διανομείς.
6. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Υπολογισμός (Ninth ed.). Prentice Hall.