Τι είναι τα πλάγια τρίγωνα; (με ασκήσεις που έχουν λυθεί)

Το πλάγια τρίγωνα είναι αυτά τα τρίγωνα που δεν είναι ορθογώνια. Δηλαδή, τρίγωνα τέτοια ώστε καμία από τις γωνίες της να μην είναι ορθή γωνία (η μέτρησή της είναι 90º).

Δεν έχει ορθή γωνία, τότε το Πυθαγόρειο Θεώρημα δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτά τα τρίγωνα.

Επομένως, για να γνωρίζετε τα δεδομένα σε ένα πλάγιο τρίγωνο, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε άλλους τύπους.

Οι τύποι που είναι αναγκαίοι για την επίλυση ενός τριγώνου με λοξό γωνία είναι οι λεγόμενοι νόμοι των sines και των κοσκινών, οι οποίοι θα περιγραφούν αργότερα.

Εκτός από αυτούς τους νόμους, μπορεί πάντα να χρησιμοποιηθεί το γεγονός ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 180º..

Λοξά τρίγωνα

Όπως ειπώθηκε στην αρχή, ένα πλάγιο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο τέτοιο ώστε καμία από τις γωνίες του να μην μετράει 90º.

Το πρόβλημα της εύρεσης τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου σκαληνό και να βρούμε τις γωνίες μέτρα, ονομάζεται «Επίλυση Λοξή Τρίγωνα».

Ένα σημαντικό γεγονός κατά την εργασία με τρίγωνα είναι ότι το άθροισμα των τριών εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 180º. Αυτό είναι ένα γενικό αποτέλεσμα, επομένως για πλάγια τρίγωνα μπορεί επίσης να εφαρμοστεί.

Νόμοι του στήθους και των κοσκινισμών

Λαμβάνοντας ένα τρίγωνο ABC με πλευρές μήκους "a", "b" και "c":

- Ο νόμος του Sines αναφέρει ότι ένα / sin (a) = b / sin (B) = c / sin (C), όπου τα Α, Β και C είναι το αντίθετο του "α", "b" και "c" γωνίες αντίστοιχα.

- Ο νόμος των κοσκινών δηλώνει ότι: c2 = a² + b² - 2ab * cos (C). Παρομοίως, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι τύποι:

b2 = a2 + c2 - 2ac * cos (B) ή a2 = b2 + c2 - 2bc * cos (A).

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους, μπορείτε να υπολογίσετε τα δεδομένα ενός τριγώνου με λοξή γωνία.

Ασκήσεις

Ακολουθούν μερικές ασκήσεις όπου πρέπει να βρείτε τα δεδομένα που λείπουν από τα τρίγωνα που δίνονται, από ορισμένα παρεχόμενα δεδομένα.

Πρώτη Άσκηση

Με δεδομένο ένα τρίγωνο ABC τέτοιο ώστε A = 45 °, B = 60 ° και a = 12 cm, υπολογίστε τα άλλα δεδομένα του τριγώνου.

Λύση

Χρησιμοποιώντας αυτό το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 180º, πρέπει να

C = 180 ° -45 ° -60 ° = 75 °.

Οι τρεις γωνίες είναι ήδη γνωστές. Στη συνέχεια προχωρήστε στη χρήση του νόμου των μαστών για να υπολογίσετε τις δύο πλευρές που λείπουν.

Οι εξισώσεις που τίθενται είναι 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Από την πρώτη ισότητα μπορείτε να διαγράψετε το "b" και να το πάρετε αυτό

β = 12 * αμαρτία (60º) / αμαρτία (45º) = 6√6 ≈ 14,696εκ.

Μπορείτε επίσης να διαγράψετε το "c" και να το αποκτήσετε

c = 12 * sin (75 °) / sin (45 °) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392cm.

Δεύτερη άσκηση

Δεδομένου του τριγώνου ABC έτσι ώστε A = 60 °, C = 75 ° και b = 10 cm, υπολογίστε τα άλλα δεδομένα του τριγώνου.

Λύση

Όπως και στην προηγούμενη άσκηση, Β = 180º-60º-75º = 45º. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας το νόμο του Sines έχει κανείς ότι ένας / sin (60) = 10 / sin (45) = c / sin (75 °), από την οποία προκύπτει ότι a = 10 * sin (60 °) / sin (45 °) = 5√6 ≈ 12247 εκατοστών c = 10 * sin (75 °) / sin (45) = 5 (1 + √3) ≈ 13660 εκατοστά.

Τρίτη άσκηση

Δεδομένου του τριγώνου ABC έτσι ώστε a = 10cm, b = 15cm και C = 80 °, υπολογίστε τα άλλα δεδομένα του τριγώνου.

Λύση

Σε αυτή την άσκηση είναι γνωστή μόνο μία γωνία, επομένως δεν μπορείτε να ξεκινήσετε όπως κάνατε στις δύο προηγούμενες ασκήσεις. Επίσης, ο νόμος των μαστών δεν μπορεί να εφαρμοστεί επειδή καμία εξίσωση δεν θα μπορούσε να λυθεί.

Συνεπώς, προχωράμε στην εφαρμογή του νόμου των κοσκινών. Είναι τότε αυτό

c2 = 10 ² + 15 ² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

έτσι ώστε c ≈ 16,51 cm. Τώρα, γνωρίζοντας τις 3 πλευρές, ο νόμος του στήθους χρησιμοποιείται και παίρνετε

10 / sin (Α) = 15 / sin (Β) = 16,51 cm / sin (80 °).

Από εδώ, στην εκκαθάριση Β προκύπτει χωρίς (Β) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, πράγμα που σημαίνει ότι B ≈ 63.38º.

Τώρα, μπορεί να ληφθεί ότι A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Τέταρτη Άσκηση

Οι πλευρές ενός λοξού τριγώνου είναι α = 5cm, b = 3cm και c = 7cm. Υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου.

Λύση

Και πάλι, ο νόμος των μαστών δεν μπορεί να εφαρμοστεί άμεσα, αφού καμία εξίσωση δεν θα χρησίμευε για να αποκτήσει την αξία των γωνιών.

Χρησιμοποιώντας το νόμο συνημίτονο πρέπει να c² = τα Α + b² - 2ab cos (C), όπου εκκαθάρισης έχει να cos (C) = (τα Α + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 και συνεπώς C = 120º.

Τώρα, αν μπορείτε να εφαρμόσετε το νόμο της δίκες και να πάρει 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120η), όπου μπορείτε να καταργήσετε Β και να πάρει ότι χωρίς (Β) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, έτσι ώστε Β = 21,79º.

Τελικά η τελευταία γωνία υπολογίζεται χρησιμοποιώντας A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

Αναφορές

1. Landaverde, F. d. (1997). Γεωμετρία (Ανατύπωση εκτύπωσης). Πρόοδος.
2. Leake, D. (2006). Τρίγωνα (εικονογραφημένη έκδοση). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C.D. (2006). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
4. Ruiz, Α., & Barrantes, Η. (2006). Γεωμετρίες. CR τεχνολογία.
5. Sullivan, Μ. (1997). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
6. Sullivan, Μ. (1997). Τριγωνομετρία και Αναλυτική Γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.