Ποιες είναι οι ταυτόχρονες εξισώσεις; (με ασκήσεις που έχουν λυθεί)

Το ταυτόχρονες εξισώσεις είναι αυτές οι εξισώσεις που πρέπει να εκπληρωθούν ταυτόχρονα. Επομένως, για να έχουμε ταυτόχρονες εξισώσεις πρέπει να έχουμε περισσότερες από μία εξισώσεις.

Όταν έχετε δύο ή περισσότερες διαφορετικές εξισώσεις, οι οποίες πρέπει να έχουν την ίδια λύση (ή τις ίδιες λύσεις), λέτε ότι έχετε ένα σύστημα εξισώσεων ή λέτε ότι έχετε ταυτόχρονες εξισώσεις.

Όταν έχετε ταυτόχρονες εξισώσεις, μπορεί να συμβεί ότι δεν έχουν κοινές λύσεις ή έχουν πεπερασμένο ποσό ή έχουν άπειρο ποσό.

Ταυτοχρόνιες εξισώσεις

Λαμβάνοντας υπόψη δύο διαφορετικές εξισώσεις Eq1 και Eq2, έχουμε ότι το σύστημα αυτών των δύο εξισώσεων ονομάζεται ταυτόχρονες εξισώσεις.

Οι ταυτόχρονες εξισώσεις εκπληρώνουν ότι εάν το S είναι ένα διάλυμα του Eq1 τότε το S είναι επίσης ένα διάλυμα του Eq2 και αντίστροφα

Χαρακτηριστικά

Όταν πρόκειται για ένα σύστημα ταυτόχρονων εξισώσεων, μπορείτε να έχετε 2 εξισώσεις, 3 εξισώσεις ή Ν εξισώσεις.

Οι πιο κοινές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την επίλυση ταυτόχρονων εξισώσεων είναι: αντικατάσταση, εξίσωση και μείωση. Υπάρχει επίσης μια άλλη μέθοδος που ονομάζεται κανόνας Cramer, η οποία είναι πολύ χρήσιμη για συστήματα με περισσότερες από δύο ταυτόχρονες εξισώσεις.

Ένα παράδειγμα ταυτόχρονων εξισώσεων είναι το σύστημα

Eq1: χ + γ = 2

Eq2: 2χ-γ = 1

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι x = 0, y = 2 είναι ένα διάλυμα της Eq1 αλλά δεν είναι ένα διάλυμα της Eq2.

Η μόνη κοινή λύση που και οι δύο εξισώσεις είναι x = 1, y = 1. Δηλαδή, x = 1, y = 1 είναι η λύση του συστήματος των ταυτόχρονων εξισώσεων.

Επιλυμένες ασκήσεις

Στη συνέχεια προχωράμε στην επίλυση του συστήματος των ταυτόχρονων εξισώσεων που παρουσιάζονται παραπάνω, μέσα από τις 3 προαναφερθείσες μεθόδους.

Πρώτη Άσκηση

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης.

Λύση

Η μέθοδος υποκατάστασης συνίσταται στην εκκαθάριση ενός από τα άγνωστα μιας από τις εξισώσεις και στη συνέχεια στην αντικατάστασή της στην άλλη εξίσωση. Σε αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση, μπορείτε να καθαρίσετε "y" από την Eq1 και να πάρετε ότι y = 2-x.

Όταν αντικαθίσταται αυτή η τιμή του "y" στην Eq2, λαμβάνεται ότι 2x- (2-x) = 1. Επομένως, έχουμε ότι 3x-2 = 1, δηλαδή, x = 1.

Στη συνέχεια, δεδομένου ότι η τιμή του x είναι γνωστή, αντικαθίσταται στο "y" και y = 2-1 = 1.

Επομένως, η μόνη λύση του συστήματος των ταυτόχρονων εξισώσεων Eq1 και Eq2 είναι x = 1, y = 1.

Δεύτερη άσκηση

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εξίσωσης.

Λύση

Η μέθοδος εξίσωσης συνίσταται στην εκκαθάριση της ίδιας ερώτησης και από τις δύο εξισώσεις και στη συνέχεια στην εξίσωση των εξισώσεων που προκύπτουν.

Διαγράφοντας το "x" και από τις δύο εξισώσεις, έχουμε ότι x = 2-y, και ότι x = (1 + y) / 2. Τώρα, αυτές οι δύο εξισώσεις ισοδυναμούν και παίρνουμε ότι 2-y = (1 + y) / 2, όπου αποδεικνύεται ότι 4-2y = 1 + y.

Η ομαδοποίηση του άγνωστου "y" στην ίδια πλευρά έχει ως αποτέλεσμα y = 1. Τώρα που ξέρετε "και" προχωράτε να βρείτε την τιμή του "x". Όταν αντικαθιστάτε το y = 1 παίρνουμε ότι το x = 2-1 = 1.

Επομένως, η κοινή λύση μεταξύ των εξισώσεων Eq1 και Eq2 είναι x = 1, y = 1.

Τρίτη άσκηση

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μείωσης.

Λύση

Η μέθοδος μείωσης αποτελείται από τον πολλαπλασιασμό των εξισώσεων που δίνονται με τους κατάλληλους συντελεστές, έτσι ώστε όταν προστίθενται αυτές οι εξισώσεις μία από τις μεταβλητές ακυρώνεται.

Σε αυτό το συγκεκριμένο παράδειγμα, δεν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε οποιαδήποτε εξίσωση με οποιονδήποτε συντελεστή, απλώς να τα προσθέσετε μαζί. Όταν προσθέτουμε Eq1 συν Eq2 λαμβάνουμε ότι 3x = 3, από το οποίο έχουμε ότι x = 1.

Κατά την αξιολόγηση της x = 1 στην Eq1 λαμβάνουμε ότι 1 + y = 2, από το οποίο προκύπτει ότι y = 1.

Επομένως, το x = 1, y = 1 είναι η μόνη λύση των ταυτόχρονων εξισώσεων Eq1 και Eq2.

Τέταρτη Άσκηση

Επίλυση του συστήματος ταυτόχρονων εξισώσεων Eq1: 2x-3y = 8 και Eq2: 4x-3y = 12.

Λύση

Αυτή η άσκηση δεν απαιτεί κάποια συγκεκριμένη μέθοδο, επομένως μπορείτε να εφαρμόσετε τη μέθοδο που είναι πιο άνετη για κάθε αναγνώστη.

Σε αυτή την περίπτωση, θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος μείωσης. Ο πολλαπλασιασμός του Eq1 με -2 δίνει την εξίσωση Eq3: -4x + 6y = -16. Τώρα, προσθέτοντας Eq3 και Eq2 δίνει 3y = -4, επομένως y = -4 / 3.

Τώρα, όταν αξιολογούμε το y = -4 / 3 στην Eq1 παίρνουμε ότι 2x-3 (-4/3) = 8, όπου 2x + 4 = 8, ως εκ τούτου, x = 2.

Συμπερασματικά, η μόνη λύση του συστήματος των ταυτόχρονων εξισώσεων Eq1 και Eq2 είναι x = 2, y = -4 / 3.

Παρατήρηση

Οι μέθοδοι που περιγράφονται σε αυτό το άρθρο μπορούν να εφαρμοστούν σε συστήματα με περισσότερες από δύο ταυτόχρονες εξισώσεις.

Όσο περισσότερες εξισώσεις και περισσότερο άγνωστες υπάρχουν, η διαδικασία για την επίλυση του συστήματος είναι πιο περίπλοκη.

Οποιαδήποτε μέθοδος επίλυσης συστημάτων εξισώσεων θα δώσει τις ίδιες λύσεις, δηλαδή οι λύσεις δεν εξαρτώνται από τη μέθοδο που εφαρμόζεται.

Αναφορές

1. Πηγές, Α. (2016). ΒΑΣΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Εισαγωγή στον υπολογισμό. Lulu.com.
2. Garo, Μ. (2014). Μαθηματικά: τετραγωνικές εξισώσεις.: Πώς να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση. Ο Μαρίλ Γκάο.
3. Haeussler, Ε. F., & Paul, R.S. (2003). Μαθηματικά για τη διοίκηση και την οικονομία. Εκπαίδευση Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, Μ. & Estrada, R. (2005). Μαθηματικά 1 SEP. Όριο.
5. Preciado, C. Τ. (2005). Μάθημα Μαθηματικών 3ο. Συντάκτης Progreso.
6. Rock, Ν. Μ. (2006). Η άλγεβρα είναι εύκολη! Τόσο εύκολο. Ομάδα Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Άλγεβρα και τριγωνομετρία. Εκπαίδευση Pearson.