Τι είναι το Domain και Condominium μιας Λειτουργίας; (Με λυμένα παραδείγματα)

Οι έννοιες του τομέα και αντίθετο πεδίο μιας λειτουργίας συνήθως διδάσκονται στα μαθήματα λογιστικής που διδάσκονται στην αρχή της σταδιοδρομίας των πανεπιστημίων.

Πριν ορίσετε τον τομέα και τον τομέα, πρέπει να γνωρίζετε ποια είναι η λειτουργία. Μια συνάρτηση f είναι ένας νόμος (κανόνας) αλληλογραφίας που γίνεται μεταξύ των στοιχείων των δύο συνόλων.

Το σύνολο των οποίων επιλέγονται τα στοιχεία ονομάζεται τομέας της συνάρτησης και το σύνολο στα οποία αποστέλλονται αυτά τα στοιχεία μέσω f ονομάζεται αντίστροφος τομέας.

Στα μαθηματικά, μια συνάρτηση με τον τομέα Α και τον αντίθετο τομέα Β υποδηλώνεται από την έκφραση f: Α → Β.

Η παραπάνω έκφραση λέει ότι τα στοιχεία του συνόλου Α αποστέλλονται στο σύνολο Β σύμφωνα με το νόμο αλληλογραφίας f.

Μια συνάρτηση εκχωρεί κάθε στοιχείο του συνόλου Α ένα μόνο στοιχείο του συνόλου Β.

Τομέας τομέων και μετρητών

Δεδομένης μιας πραγματικής συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής f (x), έχουμε ότι το πεδίο της συνάρτησης θα είναι όλοι εκείνοι οι πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε, όταν αξιολογείται σε f, το αποτέλεσμα είναι ένας πραγματικός αριθμός.

Γενικά, ο αντίθετος τομέας μιας συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. Το contradomain καλείται επίσης το set άφιξης ή το codomain της συνάρτησης f.

Ο αντίθετος τομέας μιας συνάρτησης είναι πάντα R?

Όχι. Όσο η λειτουργία δεν μελετάται λεπτομερώς, συνήθως λαμβάνεται ως αντίθετος τομέα το σύνολο των πραγματικών αριθμών R.

Αλλά μόλις μελετηθεί η λειτουργία, μπορεί να ληφθεί ένα πιο κατάλληλο σετ ως αντί-τομέα, το οποίο θα είναι ένα υποσύνολο του R.

Το κατάλληλο σετ που αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο ταιριάζει με την εικόνα της λειτουργίας.

Ο ορισμός της εικόνας ή εύρους μιας συνάρτησης f αναφέρεται σε όλες τις τιμές που προέρχονται από την αξιολόγηση ενός στοιχείου του τομέα στο f.

Παραδείγματα

Τα ακόλουθα παραδείγματα απεικονίζουν τον τρόπο υπολογισμού του τομέα μιας συνάρτησης και της εικόνας της.

Παράδειγμα 1

Έστω f μια πραγματική συνάρτηση που ορίζεται από το f (x) = 2.

Ο τομέας του f είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι που, όταν αξιολογούνται σε f, το αποτέλεσμα είναι ένας πραγματικός αριθμός. Ο αντίθετος τομέας αυτή τη στιγμή είναι ίσος με R.

Δεδομένου ότι η δεδομένη συνάρτηση είναι σταθερή (πάντοτε ίση με 2), δεν έχει σημασία ποιος είναι ο πραγματικός αριθμός που επιλέγεται, δεδομένου ότι όταν την αξιολογεί σε f το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ίσο με 2, που είναι ένας πραγματικός αριθμός.

Επομένως, ο τομέας της δεδομένης συνάρτησης είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί. δηλαδή, A = R.

Τώρα που είναι γνωστό ότι το αποτέλεσμα της συνάρτησης είναι πάντα ίσο με 2, έχουμε ότι η εικόνα της συνάρτησης είναι μόνο ο αριθμός 2, επομένως ο αντίθετος τομέας της συνάρτησης μπορεί να επαναπροσδιοριστεί ως Β = Img (f) = 2.

Επομένως, f: R → 2.

Παράδειγμα 2

Έστω g μια πραγματική συνάρτηση που ορίζεται από το g (x) = √x.

Ενώ η εικόνα του g δεν είναι γνωστή, η περιοχή μετρητή του g είναι B = R.

Με αυτή τη λειτουργία πρέπει να λάβετε υπόψη ότι οι τετραγωνικές ρίζες ορίζονται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς. δηλαδή για αριθμούς μεγαλύτερους ή ίσους με το μηδέν. Για παράδειγμα, ο √-1 δεν είναι πραγματικός αριθμός.

Επομένως, ο τομέας της συνάρτησης g πρέπει να είναι όλοι οι αριθμοί μεγαλύτεροι ή ίσοι με το μηδέν. αυτό είναι, x ≥ 0.

Επομένως, A = [0, + ∞).

Για τον υπολογισμό του εύρους πρέπει να σημειωθεί ότι οποιοδήποτε αποτέλεσμα του g (x), που είναι τετραγωνική ρίζα, θα είναι πάντοτε μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν. Δηλαδή, Β = [0, + ∞).

Συμπερασματικά, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Παράδειγμα 3

Αν έχουμε τη συνάρτηση h (x) = 1 / (x-1), έχουμε ότι αυτή η συνάρτηση δεν έχει οριστεί για το x = 1, αφού στον παρονομαστή θα επιτευχθεί μηδέν και η διαίρεση με μηδέν δεν ορίζεται.

Από την άλλη πλευρά, για οποιαδήποτε άλλη πραγματική αξία το αποτέλεσμα θα είναι ένας πραγματικός αριθμός. Επομένως, ο τομέας είναι όλα reals εκτός από ένα. δηλαδή, A = R \ 1.

Κατά τον ίδιο τρόπο μπορεί να παρατηρηθεί ότι η μόνη τιμή που δεν μπορεί να ληφθεί ως αποτέλεσμα είναι 0, δεδομένου ότι για ένα κλάσμα ίσο με το μηδέν ο αριθμητής πρέπει να είναι μηδέν.

Επομένως, η εικόνα της συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των reals, εκτός από το μηδέν, οπότε λαμβάνεται ως αντίθετος τομέας B = R \ 0.

Συμπερασματικά, h: R \ 1 → R \ 0.

Παρατηρήσεις

Ο τομέας και η εικόνα δεν χρειάζεται να είναι το ίδιο σύνολο, όπως αποδείχθηκε στα παραδείγματα 1 και 3.

Όταν μια συνάρτηση γραφείται στο καρτεσιανό επίπεδο, ο τομέας αντιπροσωπεύεται από τον άξονα Χ και ο αντίθετος τομέας ή η περιοχή αντιπροσωπεύεται από τον άξονα Υ.

Αναφορές

1. Fleming, W. & Varberg, D.E. (1989). Μαθηματικά Precalculus. PTR Prentice Hall.
2. Fleming, W. & Varberg, D.E. (1989). Μαθήματα Precalculus: προσέγγιση επίλυσης προβλημάτων (2, Illustrated ed.). Μίτσιγκαν: αίθουσα Prentice.
3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Άλγεβρα και τριγωνομετρία με αναλυτική γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Εκπαιδευτική εκπαίδευση.
5. Leal, J. Μ., & Viloria, Ν. G. (2005). Επίπεδο αναλυτική γεωμετρία. Μερίδα - Βενεζουέλα: Εκδοτική Βενεζολάνια Γ.
6. Pérez, C.D. (2006). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Υπολογισμός (Ninth ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Διαφορικός υπολογισμός με πρώιμες υπερβατικές λειτουργίες για την Επιστήμη και τη Μηχανική (Δεύτερη έκδοση έκδ.). Υπόταση.
9. Scott, C. Α. (2009). Καρτεσιανή Αεροπορική Γεωμετρία, Μέρος: Αναλυτικά Conics (1907) (εκτύπωση εκ νέου). Πηγή φωτός.
10. Sullivan, Μ. (1997). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.