Μερίδιο:
Τι είναι το Gravicentro; (με Παραδείγματα)
Το gravicentro είναι ένας ορισμός που χρησιμοποιείται ευρέως στη γεωμετρία κατά την εργασία με τρίγωνα.
Για να κατανοήσουμε τον ορισμό του gravicentro είναι απαραίτητο πρώτα να γνωρίζουμε τον ορισμό των "διαμετρήματος" ενός τριγώνου.
Οι διάμετροι ενός τριγώνου είναι τα τμήματα γραμμών που ξεκινούν από κάθε κορυφή και φθάνουν στο μέσο της πλευράς που είναι απέναντι από εκείνη την κορυφή.
Το σημείο τομής των τριών μέσων ενός τριγώνου ονομάζεται «bararycenter» ή είναι επίσης γνωστό ως gravicentro.
Δεν αρκεί να γνωρίζουμε ακριβώς τον ορισμό, είναι ενδιαφέρον να γνωρίζουμε πώς υπολογίζεται αυτό το σημείο.
Υπολογισμός του Barycenter
Λαμβάνοντας υπόψη ένα τρίγωνο ABC με την κορυφή Α = (x1, y1), Β = (x2, y2) και C = (x3, y3), έχει το gravicentro είναι το σημείο τομής των τριών διάμεσοι του τριγώνου.
Ένας γρήγορος τύπος που επιτρέπει τον υπολογισμό του gravicentro ενός τριγώνου, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες των κορυφών του είναι:
G = ((χ1 + χ2 + χ3) / 3, (γ1 + γ2 + γ3) / 3).
Με αυτό τον τύπο μπορείτε να γνωρίζετε τη θέση του gravicentro στο καρτεσιανό επίπεδο.
Χαρακτηριστικά του Gravicentro
Δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε τους τρεις διαδρόμους του τριγώνου, γιατί όταν σχεδιάζουμε δύο από αυτούς θα είναι προφανές πού είναι το gravicentro.
Η gravicentro διαιρεί κάθε διάμεσος 2 μέρη των οποίων η αναλογία είναι 2: 1, δηλαδή, τα δύο τμήματα του κάθε μέσου διαιρείται σε τμήματα μήκους 2/3 και 1/3 του συνολικού μήκους, είναι η μεγαλύτερη απόσταση που υπάρχει μεταξύ της κορυφής και του gravicentro.
Η παρακάτω εικόνα απεικονίζει καλύτερα αυτήν την ιδιότητα.
Ο τύπος για τον υπολογισμό του gravicentro είναι πολύ απλός. Ο τρόπος για να αποκτήσετε αυτόν τον τύπο είναι να υπολογίσετε τις εξισώσεις της γραμμής που ορίζουν κάθε διάμεσο και στη συνέχεια να βρείτε το σημείο κοπής αυτών των γραμμών.
Ασκήσεις
Παρακάτω υπάρχει ένας μικρός κατάλογος προβλημάτων σχετικά με τον υπολογισμό του barycenter.
1.- Με δεδομένο ένα τρίγωνο κορυφών A = (0,0), B = (1,0) και C = (1,1), υπολογίστε το gravicenter του εν λόγω τριγώνου.
Χρησιμοποιώντας τη δεδομένη φόρμουλα, μπορούμε γρήγορα να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι το gravicentro του τριγώνου ABC είναι:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Αν ένα τρίγωνο έχει κορυφές A = (0,0), B = (1,0) και C = (1 / 2,1), ποιες είναι οι συντεταγμένες του gravicentro?
Δεδομένου ότι οι κορυφές του τριγώνου είναι γνωστές, εφαρμόζεται ο τύπος για τον υπολογισμό του gravicentro. Επομένως, το gravicentro έχει συντεταγμένες:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Υπολογίστε τα πιθανά βαρυκεντρικά στοιχεία για ένα ισόπλευρο τρίγωνο έτσι ώστε δύο από τις κορυφές του να είναι A = (0,0) και B = (2,0).
Σε αυτή την άσκηση, καθορίζονται μόνο δύο κορυφές του τριγώνου. Για να βρούμε το πιθανό βαρύκεντρο πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την τρίτη κορυφή του τριγώνου.
Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και η απόσταση μεταξύ Α και Β είναι 2, έχουμε την τρίτη κορυφή C, πρέπει να είναι στην απόσταση 2 από τα Α και Β.
Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, το ύψος συμπίπτει με τη διάμεση τιμή και επίσης χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι επιλογές για τις συντεταγμένες της τρίτης κορυφής είναι C1 = (1, √3) ή C2 = (1 - √3).
Έτσι οι συντεταγμένες των δυο πιθανών βαρυκέντρων είναι:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + 3) / 3) = (3/3, 3/3),
G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).
Χάρη στους προηγούμενους λογαριασμούς μπορεί επίσης να σημειωθεί ότι ο διάμεσος διαιρέθηκε σε δύο μέρη των οποίων το ποσοστό είναι 2: 1.
Αναφορές
- Landaverde, F. d. (1997). Γεωμετρία (Ανατύπωση εκτύπωσης). Πρόοδος.
- Leake, D. (2006). Τρίγωνα (εικονογραφημένη έκδοση). Heinemann-Raintree.
- Pérez, C.D. (2006). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
- Ruiz, Α., & Barrantes, Η. (2006). Γεωμετρίες. CR τεχνολογία.
- Sullivan, Μ. (1997). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
- Sullivan, Μ. (1997). Τριγωνομετρία και Αναλυτική Γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.