Ιδιότητες ομοιομορφίας, τύποι και παραδείγματα

Το homotecia είναι μια γεωμετρική αλλαγή στο επίπεδο όπου, από ένα σταθερό σημείο που ονομάζεται κέντρο (O), οι αποστάσεις πολλαπλασιάζονται με ένα κοινό παράγοντα. Με αυτό τον τρόπο, κάθε σημείο P αντιστοιχεί σε άλλο σημείο P 'προϊόν του μετασχηματισμού, και αυτά ευθυγραμμίζονται με το σημείο Ο.

Στη συνέχεια, η homothety είναι μια αντιστοιχία μεταξύ δύο γεωμετρικών μορφών, όπου τα μετασχηματισμένα σημεία ονομάζονται ομοθετικά και αυτά ευθυγραμμίζονται με ένα σταθερό σημείο και με τμήματα παράλληλα μεταξύ τους.

Ευρετήριο

• 1 Homotecia
• 2 Ιδιότητες
• 3 τύποι
  • 3.1 Άμεση ομοιομορφία
  • 3.2 Αντίστροφη homothety
• 4 Σύνθεση
• 5 Παραδείγματα
  • 5.1 Πρώτο παράδειγμα
  • 5.2 Δεύτερο παράδειγμα
• 6 Αναφορές

Homothety

Η homothety είναι ένας μετασχηματισμός που δεν έχει σύμφωνη εικόνα, επειδή από ένα σχήμα θα προκύψουν μία ή περισσότερες μορφές μεγαλύτερου ή μικρότερου μεγέθους από το αρχικό σχήμα. δηλαδή ότι η homothety μετατρέπει ένα πολύγωνο σε άλλο παρόμοιο.

Για την ομοιοθεσία που πρέπει να πληρούνται πρέπει να αντιστοιχούν από σημείο σε σημείο και ευθεία σε ευθεία, έτσι ώστε τα ζεύγη ομόλογων σημείων να είναι ευθυγραμμισμένα με ένα τρίτο σταθερό σημείο, το οποίο είναι το κέντρο της homothety.

Ομοίως, τα ζεύγη γραμμών που ενώνουν τους πρέπει να είναι παράλληλα. Η σχέση μεταξύ αυτών των τμημάτων είναι μια σταθερά που ονομάζεται ratio homothety (k). με τέτοιο τρόπο ώστε η ομοιότητα να μπορεί να οριστεί ως:

Για να κάνετε αυτό το είδος μετασχηματισμού ξεκινάτε επιλέγοντας ένα αυθαίρετο σημείο, το οποίο θα είναι το κέντρο της ομοιομορφίας.

Από αυτό το σημείο, τα τμήματα γραμμής σχεδιάζονται για κάθε κορυφή του σχήματος που πρόκειται να μετατραπεί. Η κλίμακα στην οποία γίνεται η αναπαραγωγή του νέου αριθμού δίνεται από τη λογική της ομοιοτυπίας (k).

Ιδιότητες

Μία από τις κύριες ιδιότητες της ομοιοτυπίας είναι ότι, για λόγους homothety (k), όλες οι ομοθετικές μορφές είναι παρόμοιες. Μεταξύ άλλων εξαιρετικών ιδιοτήτων είναι οι εξής:

- Το κέντρο της homothety (O) είναι το μόνο διπλό σημείο και μεταμορφώνεται σε αυτό το ίδιο. δηλαδή, δεν ποικίλλει.

- Οι γραμμές που περνούν από το κέντρο μετατρέπονται (είναι διπλές), αλλά τα σημεία που το συνθέτουν δεν είναι διπλά.

- Οι ευθείες που δεν περνούν από το κέντρο μετατρέπονται σε παράλληλες γραμμές. Με αυτόν τον τρόπο, οι γωνίες ομοιομορφίας παραμένουν οι ίδιες.

- Η εικόνα ενός τμήματος με ομοιοτυπία του κέντρου O και του λόγου k είναι ένα τμήμα παράλληλο προς αυτό και έχει k φορές το μήκος του. Για παράδειγμα, όπως φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα, ένα τμήμα ΑΒ με ομοθετική θα έχει ως αποτέλεσμα ένα άλλο τμήμα Α'Β ', έτσι ώστε το ΑΒ θα είναι παράλληλο προς Α'Β' και το k θα είναι:

- Οι ομοθετικές γωνίες είναι σύμφωνες. δηλαδή, έχουν το ίδιο μέτρο. Επομένως, η εικόνα μιας γωνίας είναι μια γωνία που έχει το ίδιο εύρος.

Από την άλλη πλευρά, η homothety ποικίλλει ανάλογα με την τιμή του λόγου (k) και μπορεί να προκύψουν οι ακόλουθες περιπτώσεις:

- Αν η σταθερά k = 1, όλα τα σημεία καθορίζονται επειδή μετασχηματίζονται. Έτσι, η ομοθετική μορφή συμπίπτει με το πρωτότυπο και ο μετασχηματισμός θα ονομάζεται λειτουργία ταυτότητας.

- Αν k ≠ 1, το μόνο σταθερό σημείο θα είναι το κέντρο της homothety (O).

- Αν k = -1, η homothety γίνεται κεντρική συμμετρία (C). δηλαδή, μια περιστροφή γύρω από το C θα λάβει χώρα υπό γωνία 180 °^o.

- Εάν k> 1, το μέγεθος του μετασχηματισμένου σχήματος θα είναι μεγαλύτερο από το μέγεθος του αρχικού.

- Ναι 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ναι -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Εάν k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Τύποι

Η homothety μπορεί επίσης να ταξινομηθεί σε δύο τύπους, ανάλογα με την τιμή του λόγου (k):

Άμεση ομοιομορφία

Αυτό συμβαίνει εάν η σταθερή k> 0; δηλαδή, τα ομοθετικά σημεία είναι στην ίδια πλευρά σε σχέση με το κέντρο:

Ο συντελεστής αναλογικότητας ή ο λόγος ομοιότητας μεταξύ άμεσων ομοθετικών αριθμών θα είναι πάντοτε θετικός.

Αντίστροφη ομοθετική

Συμβαίνει εάν η σταθερή k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Ο συντελεστής αναλογικότητας ή αναλογία ομοιότητας μεταξύ των ομοθετικών αντίστροφων αριθμών θα είναι πάντα αρνητικός.

Σύνθεση

Όταν πολλές κινήσεις γίνονται διαδοχικά μέχρι να ληφθεί ένας αριθμός ίσος με το πρωτότυπο, εμφανίζεται μια σύνθεση κινήσεων. Η σύνθεση πολλών κινήσεων είναι επίσης μια κίνηση.

Η σύνθεση μεταξύ δύο ομοιωμάτων έχει σαν αποτέλεσμα μια νέα ομοθεσία. δηλαδή, έχουμε ένα ομοθετικό προϊόν στο οποίο το κέντρο θα ευθυγραμμιστεί με το κέντρο των δύο αρχικών μετασχηματισμών, και ο λόγος (k) είναι το προϊόν των δύο λόγων.

Έτσι, στη σύνθεση των δύο homotheces H₁(Or₁, k₁) και Η₂(Or₂, k₂), πολλαπλασιάζοντας τους λόγους: k₁ x k₂ = 1 θα έχει ως αποτέλεσμα ομοιομορφία του λόγου k₃ = Κ₁ x k₂. Το κέντρο αυτής της νέας ομοθυμίας (Ο₃) θα βρίσκεται στην ευθεία O₁ Ο₂.

Η homothety αντιστοιχεί σε μια επίπεδη και αμετάκλητη αλλαγή. αν εφαρμόζονται δύο homotheces που έχουν το ίδιο κέντρο και αναλογία, αλλά με διαφορετικό σημείο, θα ληφθεί το αρχικό σχήμα.

Παραδείγματα

Πρώτο παράδειγμα

Εφαρμόστε μια homothety στο δεδομένο κέντρο πολύγωνο (O), που βρίσκεται 5 cm από το σημείο Α και του οποίου ο λόγος είναι k = 0,7.

Λύση

Κάθε σημείο επιλέγεται ως το κέντρο της homothety, και από αυτές τις ακτίνες σχεδιάζονται από τις κορυφές του σχήματος:

Η απόσταση από το κέντρο (O) έως το σημείο Α είναι OA = 5. με αυτό μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση ενός από τα ομοθετικά σημεία (OA ') γνωρίζοντας επίσης ότι k = 0,7:

ΟΑ '= kx ΟΑ.

ΟΑ '= 0,7 χ 5 = 3,5.

Η διαδικασία μπορεί να γίνει για κάθε κορυφή ή μπορείτε επίσης να σχεδιάσετε το ομογενές πολύγωνο που θυμάται ότι τα δύο πολύγωνα έχουν παράλληλες πλευρές:

Τέλος, ο μετασχηματισμός μοιάζει με αυτό:

Δεύτερο παράδειγμα

Εφαρμόστε μια homothety στο δεδομένο κεντρικό πολύγωνο (O), που βρίσκεται σε 8,5 cm από το σημείο C και του οποίου ο λόγος y k = -2.

Λύση

Η απόσταση από το κέντρο (O) στο σημείο C είναι OC = 8.5. με αυτά τα δεδομένα είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η απόσταση ενός από τα ομοθετικά σημεία (OC '), γνωρίζοντας επίσης ότι k = -2:

OC '= k χ OC.

OC '= -2 χ 8,5 = -17

Αφού σχεδιάσουμε τα τμήματα των κορυφών του μετασχηματισμένου πολυγώνου, έχουμε ότι τα αρχικά σημεία και τα ομοθετικά τους βρίσκονται στα αντίθετα άκρα σε σχέση με το κέντρο:

Αναφορές

1. Álvaro Rendon, Α. R. (2004). Τεχνικό Σχέδιο: σημειωματάριο δραστηριοτήτων.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J.L. (2002). Συγγένεια, ομολογία και ομοιοτυπία.
3. Baer, ​​R. (2012). Γραμμική Άλγεβρα και Προβολική Γεωμετρία. Courier Corporation.
4. Hebert, Υ. (1980). Γενικά μαθηματικά, πιθανότητες και στατιστικές.
5. Meserve, Β. Ε. (2014). Θεμελιώδεις έννοιες της γεωμετρίας. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Εισαγωγή στην άλγεβρα. Επαναστροφή.