Πολωνικές εξισώσεις (με επιλυμένες ασκήσεις)

Το πολυώνυμες εξισώσεις είναι μια δήλωση που εγείρει δύο εκφράσεις ίσες ή τα μέλη, όπου τουλάχιστον έναν από τους όρους που συνθέτουν κάθε πλευρά της ισότητας είναι πολυώνυμα P (x). Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται ανάλογα με το βαθμό των μεταβλητών τους.

Γενικά, μια εξίσωση είναι μια δήλωση που καθιερώνει την ισότητα των δύο εκφράσεων, όπου σε τουλάχιστον ένα από αυτά υπάρχουν άγνωστες ποσότητες, που ονομάζονται μεταβλητές ή άγνωστα. Αν και υπάρχουν πολλοί τύποι εξισώσεων, ταξινομούνται γενικά σε δύο τύπους: αλγεβρικό και υπερβατικό.

Οι εξισώσεις πολυώνυμα περιέχουν μόνο αλγεβρικές εκφράσεις, οι οποίες μπορεί να έχουν ένα ή περισσότερα άγνωστα που εμπλέκονται στην εξίσωση. Σύμφωνα με την εκθέτη (βαθμός) έχουν έχοντας μπορούν να ταξινομηθούν σε πρώτου βαθμού (γραμμικό), δευτέρου βαθμού (τετραγωνική), τρίτου βαθμού (κυβικά), τετάρτη τάξη (quartic) του βαθμού μεγαλύτερο από ή ίσο με πέντε και παράλογα.

Ευρετήριο

• 1 Χαρακτηριστικά
• 2 Τύποι
  • 2.1 Πρώτη τάξη
  • 2.2 Δεύτερος βαθμός
  • 2.3 Διαλύτης
  • 2.4 Υψηλότερη ποιότητα
• 3 Ασκήσεις που επιλύθηκαν
  • 3.1 Πρώτη άσκηση
  • 3.2 Δεύτερη άσκηση
• 4 Αναφορές

Χαρακτηριστικά

Οι εξισώσεις πολυώνυμων είναι εκφράσεις που σχηματίζονται από την ισότητα μεταξύ δύο πολυώνυμων. δηλαδή με πεπερασμένο ποσά των πολλαπλασιασμών μεταξύ τιμές είναι άγνωστη (μεταβλητές) και σταθερών αριθμών (συντελεστές), όπου οι μεταβλητές μπορεί να έχουν εκθέτες, και η τιμή του μπορεί να είναι ένας θετικός ακέραιος συμπεριλαμβανομένου του μηδέν.

Οι εκθέτες καθορίζουν το βαθμό ή τον τύπο της εξίσωσης. Αυτός ο όρος της έκφρασης που έχει τον υψηλότερο δείκτη τιμής θα αντιπροσωπεύει τον απόλυτο βαθμό του πολυωνύμου.

Οι εξισώσεις πολυώνυμων είναι επίσης γνωστές ως αλγεβρικές εξισώσεις, οι συντελεστές τους μπορούν να είναι πραγματικοί ή σύνθετοι αριθμοί και οι μεταβλητές είναι άγνωστοι αριθμοί που αντιπροσωπεύονται από ένα γράμμα, όπως: "x".

Εάν αντικαθιστώντας μια τιμή για τη μεταβλητή «x» σε P (x) το αποτέλεσμα είναι μηδέν (0), τότε λέγεται ότι η τιμή αυτή ικανοποιεί την εξίσωση (είναι ένα διάλυμα), και είναι συνήθως ονομάζεται ρίζα του πολυωνύμου.

Όταν αναπτύσσεται μια πολυωνυμική εξίσωση είναι να βρείτε όλες τις ρίζες ή λύσεις.

Τύποι

Υπάρχουν διάφοροι τύποι πολυώνυμων εξισώσεων, οι οποίοι διαφοροποιούνται ανάλογα με τον αριθμό των μεταβλητών και επίσης ανάλογα με τον βαθμό εκθέτη τους.

Έτσι, πολυωνυμικών εξισώσεων, όπου ο πρώτος όρος είναι ένα πολυώνυμο που έχει ένα άγνωστο, ενώ το πτυχίο τους μπορεί να είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός (n) και ο δεύτερος όρος είναι μηδέν, μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

α_{n *} xⁿ + α_{n-1 *} x^n-1 +... + α_{1 *} x¹ + α_{0 *} x₀ = 0

Πού:

- α_n, α_n-1 και α₀, είναι πραγματικοί συντελεστές (αριθμοί).

- α_n είναι διαφορετικό από το μηδέν.

- Ο εκθέτης n είναι ένας θετικός ακέραιος που αντιπροσωπεύει το βαθμό της εξίσωσης.

- x είναι η μεταβλητή ή άγνωστη που πρέπει να αναζητηθεί.

Ο απόλυτος ή μεγαλύτερος βαθμός μιας πολυωνυμικής εξίσωσης είναι ότι ο εκθέτης μεγαλύτερης αξίας μεταξύ όλων εκείνων που σχηματίζουν το πολυώνυμο. Με τον τρόπο αυτό, οι εξισώσεις ταξινομούνται ως:

Πρώτη τάξη

Πολυωνυμικών εξισώσεων του πρώτου βαθμού, επίσης γνωστή ως γραμμικών εξισώσεων, είναι εκείνες στις οποίες ο βαθμός (η μεγαλύτερη εκθέτης) είναι ίσο με 1, το πολυώνυμο είναι της μορφής Ρ (x) = 0? και αποτελείται από ένα γραμμικό όρο και έναν ανεξάρτητο όρο. Είναι γραμμένο ως εξής:

άξονα + b = 0.

Πού:

- a και b είναι πραγματικοί αριθμοί και ≠ 0.

- ax είναι ο γραμμικός όρος.

- b είναι ο ανεξάρτητος όρος.

Για παράδειγμα, η εξίσωση 13x - 18 = 4x.

Για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων πρέπει να περάσει όλους τους όρους που περιέχουν τις άγνωστες x σε μία πλευρά της ισότητας, και εκείνοι που δεν έχουν μετακινηθεί προς την άλλη πλευρά, τόσο σαφές και να πάρετε μια λύση:

13x - 18 = 4χ

13χ = 4χ + 18

13χ - 4χ = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Με αυτό τον τρόπο, η δεδομένη εξίσωση έχει μια ενιαία λύση ή ρίζα, η οποία είναι x = 2.

Δεύτερη τάξη

Πολυωνυμικών εξισώσεων του δεύτερου βαθμού, επίσης γνωστή ως τετραγωνική εξισώσεις, είναι εκείνες στις οποίες ο βαθμός (η μεγαλύτερη εκθέτης) είναι ίσο με 2, το πολυώνυμο είναι της μορφής P (x) = 0, και αποτελείται από ένα τετραγωνικό όρο , ένα γραμμικό και ένα ανεξάρτητο. Εκφράζεται ως εξής:

τσεκούρι² + bx + c = 0.

Πού:

- Τα α, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί και ≠ 0.

- τσεκούρι² είναι η τετραγωνική όρος, και το «α» είναι ο συντελεστής του τετραγωνικού όρου.

- bx είναι ο γραμμικός όρος και "b" είναι ο συντελεστής του γραμμικού όρου.

- c είναι ο ανεξάρτητος όρος.

Διαλύστε

Γενικά, η λύση σε αυτού του είδους τις εξισώσεις δίνεται από την εκκαθάριση του x από την εξίσωση και αφήνεται ως εξής, που ονομάζεται resolver:

Εκεί, (β² - 4ac) ονομάζεται διάκριση της εξίσωσης και αυτή η έκφραση καθορίζει τον αριθμό των λύσεων που μπορεί να έχει η εξίσωση:

- Ναι (β² - 4ac) = 0, η εξίσωση θα έχει μια μοναδική λύση που είναι διπλό? δηλαδή, θα έχετε δύο ίδιες λύσεις.

- Ναι (β² - 4ac)> 0, η εξίσωση θα έχει δύο διαφορετικές πραγματικές λύσεις.

- Ναι (β² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Για παράδειγμα, έχετε την εξίσωση 4x² + 10x - 6 = 0, για να το λύσουμε, προσδιορίστε πρώτα τους όρους a, b και c και στη συνέχεια αντικαταστήστε τον στον τύπο:

α = 4

b = 10

c = -6.

Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες πολυώνυμες εξισώσεις του δεύτερου βαθμού δεν έχουν τους τρεις όρους και γι 'αυτό λύνουν διαφορετικά:

- Στην περίπτωση που οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν έχουν τον γραμμικό όρο (δηλαδή, b = 0), η εξίσωση θα εκφραστεί ως άξονας² + c = 0. Για να το λύσει, εκκαθαρίζεται x² και οι τετραγωνικές ρίζες εφαρμόζονται σε κάθε μέλος, υπενθυμίζοντας ότι οι δύο πιθανές ενδείξεις ότι το άγνωστο μπορεί να έχει ληφθεί υπόψη:

τσεκούρι² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Για παράδειγμα, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± 4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Όταν η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει έναν ανεξάρτητο όρο (δηλαδή, c = 0), η εξίσωση θα εκφράζεται ως τσεκούρι² + bx = 0. Για να το λύσουμε, πρέπει να εξάγουμε τον κοινό παράγοντα του άγνωστου x στο πρώτο μέλος. αφού η εξίσωση είναι ίση με μηδέν, είναι αλήθεια ότι τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες θα είναι ίσος με 0:

τσεκούρι² + bx = 0.

x (άξονα β) = 0.

Με αυτόν τον τρόπο, πρέπει:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Για παράδειγμα: έχετε την εξίσωση 5x² + 30x = 0. Πρώτος παράγοντας:

5x² + 30x = 0

x (5χ + 30) = 0.

Δημιουργούνται δύο παράγοντες που είναι x και (5x + 30). Θεωρείται ότι ένα από αυτά θα είναι μηδέν και δίνεται μια άλλη λύση:

x₁ = 0.

5χ + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Σημαντικό βαθμό

Οι πολυώνυμες εξισώσεις μεγαλύτερου βαθμού είναι εκείνες που πηγαίνουν από τον τρίτο βαθμό και μετά, που μπορούν να εκφραστούν ή να επιλυθούν με τη γενική πολυωνυμική εξίσωση για οποιοδήποτε βαθμό:

α_{n *} xⁿ + α_{n-1 *} x^n-1 +... + α_{1 *} x¹ + α_{0 *} x₀ = 0

Αυτό χρησιμοποιείται επειδή μια εξίσωση με βαθμό μεγαλύτερο από δύο είναι το αποτέλεσμα της παραγοντοποίησης ενός πολυωνύμου. δηλαδή, εκφράζεται ως ο πολλαπλασιασμός των πολυωνύμων βαθμού ένα ή μεγαλύτερων, αλλά χωρίς πραγματικές ρίζες.

Η λύση αυτού του τύπου εξισώσεων είναι άμεση, διότι ο πολλαπλασιασμός των δύο παραγόντων θα είναι ίσος με το μηδέν εάν οποιοσδήποτε από τους παράγοντες είναι μηδενικός (0). Επομένως, κάθε μία από τις πολυώνυμες εξισώσεις που βρέθηκαν πρέπει να επιλυθεί, ταιριάζοντας κάθε παράγοντα με το μηδέν.

Για παράδειγμα, έχετε την εξίσωση τρίτου βαθμού (κυβικά) x³ + x² +4x + 4 = 0. Για να λυθεί αυτό θα πρέπει να ακολουθήσετε τα παρακάτω βήματα:

- Οι όροι ομαδοποιούνται:

x³ + x² +4χ + 4 = 0

(χ³ + x² ) + (4χ + 4) = 0.

- Τα άκρα αναλύονται για να αποκτήσουν τον κοινό παράγοντα του άγνωστου:

x² (χ + 1) + 4 (χ + 1) = 0

(χ² + 4)_*(χ + 1) = 0.

- Με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνονται δύο παράγοντες, οι οποίοι πρέπει να είναι ίσοι με το μηδέν:

(χ² + 4) = 0

(χ + 1) = 0.

- Μπορούμε να δούμε ότι ο παράγοντας (x² + 4) = 0 δεν θα έχει μια πραγματική λύση, ενώ ο παράγοντας (x + 1) = 0 ναι. Ως εκ τούτου, η λύση είναι:

(χ + 1) = 0

x = -1.

Επιλυμένες ασκήσεις

Λύστε τις ακόλουθες εξισώσεις:

Πρώτη άσκηση

(2x² + 5)_*(χ - 3)_*(1 + χ) = 0.

Λύση

Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση εκφράζεται ως ο πολλαπλασιασμός των πολυωνύμων. δηλαδή, είναι δεδομένο. Για να το λύσουμε, κάθε παράγοντας πρέπει να είναι ίσος με το μηδέν:

- 2x² + 5 = 0, δεν έχει λύση.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + χ = 0

- x = - 1.

Έτσι, η δεδομένη εξίσωση έχει δύο λύσεις: x = 3 και x = -1.

Δεύτερη άσκηση

x⁴ - 36 = 0.

Λύση

Έλαβε ένα πολυώνυμο, το οποίο μπορεί να ξαναγραφεί ως διαφορά τετραγώνων για να επιτύχει μια ταχύτερη λύση. Έτσι, η εξίσωση παραμένει:

(χ² + 6)_*(χ² - 6) = 0.

Για να βρεθεί η λύση των εξισώσεων, και οι δύο παράγοντες είναι ίσοι με το μηδέν:

(χ² + 6) = 0, δεν έχει λύση.

(χ² - 6) = 0

x² = 6

x = ± 6.

Έτσι, η αρχική εξίσωση έχει δύο λύσεις:

x = √6.

x = - √6.

Αναφορές

1. Andres, Τ. (2010). Μαθηματική Ολυμπιάδα Tresure. Springer. Νέα Υόρκη.
2. Angel, Α. R. (2007). Στοιχειώδης άλγεβρα Εκπαίδευση Pearson,.
3. Baer, ​​R. (2012). Γραμμική Άλγεβρα και Προβολική Γεωμετρία. Courier Corporation.
4. Baldor, Α. (1941). Άλγεβρα Αβάνα: Πολιτισμός.
5. Castaño, Η. F. (2005). Μαθηματικά πριν από τον υπολογισμό. Πανεπιστήμιο της Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, Μ. R. (2000). Math εγχειρίδιο για την Ολυμπιακή προετοιμασία. Πανεπιστήμιο Jaume Ι.
7. Kreemly Pérez, Μ. L. (1984). Superior Άλγεβρα Ι.
8. Massara, Ν. C.-L. (1995). Μαθηματικά 3.