Πόσες λύσεις έχει μια τετραγωνική εξίσωση;

Μια τετραγωνική εξίσωση ή εξίσωση του δεύτερου βαθμού μπορεί να έχει μηδέν, μία ή δύο πραγματικές λύσεις, ανάλογα με τους συντελεστές που εμφανίζονται στην εν λόγω εξίσωση.

Εάν εργάζεστε σε σύνθετους αριθμούς τότε μπορείτε να πείτε ότι κάθε τετραγωνική εξίσωση έχει δύο λύσεις.

Για να ξεκινήσει μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της φόρμας ax2 + bx + c = 0, όπου a, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί και το x είναι μια μεταβλητή.

Έστω ότι x1 είναι μια λύση της προηγούμενης τετραγωνικής εξίσωσης, εάν η αντικατάσταση του x από το x1 ικανοποιεί την εξίσωση, δηλαδή εάν a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Αν έχουμε για παράδειγμα την εξίσωση x2-4x + 4 = 0, τότε x1 = 2 είναι η λύση αφού (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Αντίθετα, εάν το x2 = 0 είναι υποκατεστημένο, λαμβάνουμε (0) 2-4 (0) + 4 = 4 και ως 4 ≠ 0 τότε x2 = 0 δεν είναι λύση της τετραγωνικής εξίσωσης.

Λύσεις μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ο αριθμός των λύσεων μιας τετραγωνικής εξίσωσης μπορεί να χωριστεί σε δύο περιπτώσεις που είναι:

1.- Στους πραγματικούς αριθμούς

Όταν εργάζεστε με πραγματικούς αριθμούς, οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να έχουν:

-Μηδενικές λύσεις: δηλαδή, δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που να ικανοποιεί την τετραγωνική εξίσωση. Για παράδειγμα, η εξίσωση που δίνεται από την εξίσωση x 2 + 1 = 0, δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε να ικανοποιεί αυτή την εξίσωση, αφού αμφότερα τα x 2 είναι μεγαλύτερα ή ίσα με το μηδέν και 1 είναι αυστηρότερα από το μηδέν, αυστηρό το μηδέν.

-Μια επαναλαμβανόμενη λύση: υπάρχει μια ενιαία πραγματική τιμή που ικανοποιεί την τετραγωνική εξίσωση. Για παράδειγμα, η μόνη λύση στην εξίσωση x2-4x + 4 = 0 είναι x1 = 2.

-Δύο διαφορετικές λύσεις: υπάρχουν δύο τιμές που ικανοποιούν την τετραγωνική εξίσωση. Για παράδειγμα, το x 2 + x-2 = 0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις που είναι x1 = 1 και x2 = -2.

2.- Σε σύνθετους αριθμούς

Όταν δουλεύουμε με σύνθετους αριθμούς, οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν πάντα δύο λύσεις οι οποίες είναι z1 και z2 όπου z2 είναι το συζυγές του z1. Επιπλέον, μπορούν να ταξινομηθούν σε:

-Συμπλέγματα: οι λύσεις είναι της μορφής z = p ± qi, όπου p και q είναι πραγματικοί αριθμοί. Η υπόθεση αυτή αντιστοιχεί στην πρώτη περίπτωση του προηγούμενου καταλόγου.

-Καθαρά Συμπλέγματα: είναι όταν το πραγματικό μέρος της λύσης είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή, η λύση έχει τη μορφή z = ± qi, όπου q είναι ένας πραγματικός αριθμός. Η υπόθεση αυτή αντιστοιχεί στην πρώτη περίπτωση του προηγούμενου καταλόγου.

-Συμπλέγματα με φανταστικό μέρος ίσο με μηδέν: είναι όταν το πολύπλοκο μέρος της λύσης είναι ίσο με το μηδέν, δηλαδή, η λύση είναι ένας πραγματικός αριθμός. Η υπόθεση αυτή αντιστοιχεί στις δύο τελευταίες περιπτώσεις της προηγούμενης λίστας.

Πώς υπολογίζονται οι λύσεις μιας τετραγωνικής εξίσωσης;?

Για τον υπολογισμό των λύσεων μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιείται ένας τύπος γνωστός ως "resolver", ο οποίος λέει ότι οι λύσεις μιας εξίσωσης ax2 + bx + c = 0 δίδονται από την έκφραση της ακόλουθης εικόνας:

Η ποσότητα που εμφανίζεται μέσα στην τετραγωνική ρίζα ονομάζεται διάκριση της τετραγωνικής εξίσωσης και δηλώνεται με το γράμμα "d".

Η τετραγωνική εξίσωση θα έχει:

-Δύο πραγματικές λύσεις εάν, και μόνο αν, d> 0.

-Μια πραγματική λύση επαναλαμβάνεται εάν, και μόνο εάν, d = 0.

-Μηδενικές πραγματικές λύσεις (ή δύο πολύπλοκες λύσεις) αν και μόνο εάν, d<0.

Παραδείγματα:

-Οι λύσεις της εξίσωσης x 2 + x-2 = 0 δίδονται από:

-Η εξίσωση x2-4x + 4 = 0 έχει μια επαναλαμβανόμενη λύση η οποία δίνεται από:

-Οι λύσεις της εξίσωσης x 2 + 1 = 0 δίδονται από:

Όπως μπορείτε να δείτε σε αυτό το τελευταίο παράδειγμα, το x2 είναι το συζυγές του x1.

Αναφορές

1. Πηγές, Α. (2016). ΒΑΣΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Εισαγωγή στον υπολογισμό. Lulu.com.
2. Garo, Μ. (2014). Μαθηματικά: τετραγωνικές εξισώσεις.: Πώς να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση. Ο Μαρίλ Γκάο.
3. Haeussler, Ε. F., & Paul, R.S. (2003). Μαθηματικά για τη διοίκηση και την οικονομία. Εκπαίδευση Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, Μ. & Estrada, R. (2005). Μαθηματικά 1 SEP. Όριο.
5. Preciado, C. Τ. (2005). Μάθημα Μαθηματικών 3ο. Συντάκτης Progreso.
6. Rock, Ν. Μ. (2006). Η άλγεβρα είναι εύκολη! Τόσο εύκολο. Ομάδα Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Άλγεβρα και τριγωνομετρία. Εκπαίδευση Pearson.