Ορθογώνια στοιχεία ενός φορέα (με ασκήσεις)

Το ορθογώνια στοιχεία ενός φορέα είναι τα δεδομένα που αποτελούν αυτό το διάνυσμα. Για να τα προσδιορίσουμε, είναι απαραίτητο να έχουμε ένα σύστημα συντεταγμένων, το οποίο είναι γενικά το καρτεσιανό αεροπλάνο.

Μόλις έχει ένα διάνυσμα σε ένα σύστημα συντεταγμένων, μπορεί να υπολογιστεί συστατικά του. Αυτά είναι δύο, μία οριζόντια συνιστώσα (παράλληλα προς τον άξονα Χ), που ονομάζεται «συνιστώσα στον άξονα Χ», και μια κατακόρυφη συνιστώσα (παράλληλα προς τον άξονα Υ), που ονομάζεται «συστατικού στο Υ».

Για να προσδιοριστούν τα συστατικά είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ορισμένα δεδομένα φορέα όπως το μέγεθος και τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα Χ.

Ευρετήριο

• 1 Πώς να προσδιορίσετε τα ορθογώνια στοιχεία ενός διανύσματος?
  • 1.1 Υπάρχουν άλλες μέθοδοι?
• 2 Ασκήσεις
  • 2.1 Πρώτη άσκηση
  • 2.2 Δεύτερη άσκηση
  • 2.3 Τρίτη άσκηση
• 3 Αναφορές

Πώς να προσδιορίσετε τα ορθογώνια στοιχεία ενός διανύσματος?

Για να προσδιορίσετε αυτά τα στοιχεία, πρέπει να γνωρίζετε ορισμένες σχέσεις μεταξύ ορθών τριγώνων και τριγωνομετρικών λειτουργιών.

Στην παρακάτω εικόνα μπορείτε να δείτε αυτή τη σχέση.

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι ίσο με το πηλίκο μεταξύ του μέτρου του σκέλους απέναντι από τη γωνία και της μέτρησης της υποτείνουσας.

Επιπλέον, το συνημίτονο της γωνίας είναι ίση με την αναλογία μεταξύ του μέτρου της γωνίας γειτονικά προς την κάθετο και το μέτρο υποτείνουσας.

Η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ίση με την αναλογία μεταξύ της μέτρησης του αντίθετου ποδιού και της μέτρησης του γειτονικού ποδιού.

Σε όλες αυτές τις σχέσεις είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί το αντίστοιχο δεξιό τρίγωνο.

Υπάρχουν άλλες μέθοδοι?

Ναι. Ανάλογα με τα δεδομένα που παρέχονται, ο τρόπος υπολογισμού των ορθογώνιων συνιστωσών ενός διανύσματος μπορεί να διαφέρει. Ένα άλλο εργαλείο που χρησιμοποιείται πολύ είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Ασκήσεις

Στις ακόλουθες ασκήσεις, ο ορισμός των ορθογώνιων συνιστωσών ενός φορέα και οι σχέσεις που περιγράφηκαν παραπάνω εφαρμόζονται στην πράξη.

Πρώτη άσκηση

Είναι γνωστό ότι ένας φορέας Α έχει μέγεθος ίσο με 12 και η γωνία που σχηματίζεται με τον άξονα Χ έχει ένα μέτρο 30 °. Προσδιορίστε τα ορθογώνια στοιχεία του εν λόγω φορέα Α.

Λύση

Αν εκτιμάται η εικόνα και χρησιμοποιούνται οι τύποι που περιγράφηκαν παραπάνω, μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι το συστατικό στον άξονα Υ του φορέα Α είναι ίσο με

sin (30 °) = Vy / 12, και συνεπώς Vy = 12 * (1/2) = 6.

Από την άλλη πλευρά, έχουμε ότι το στοιχείο στον άξονα Χ του φορέα Α είναι ίσο με

cos (30 °) = Vx / 12, και συνεπώς Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Δεύτερη άσκηση

Αν ο φορέας Α έχει μέγεθος ίσο με 5 και το στοιχείο στον άξονα Χ είναι ίσο με 4, προσδιορίστε την τιμή του στοιχείου του Α στον άξονα y.

Λύση

Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, πρέπει να είναι το μέγεθος του διανύσματος Α τετράγωνο είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο ορθογώνιες συνιστώσες. Δηλαδή, M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Αντικαθιστάτε τις παρεχόμενες τιμές, πρέπει να κάνετε

5 2 = (4) 2 + (Vy) 2, συνεπώς, 25 = 16 + (Vy) ².

Αυτό σημαίνει ότι (Vy) ² = 9 και κατά συνέπεια Vy = 3.

Τρίτη άσκηση

Αν ο φορέας Α έχει μέγεθος ίσο με 4 και αυτό σχηματίζει γωνία 45 ° με τον άξονα Χ, προσδιορίστε τα ορθογώνια συστατικά του εν λόγω διανύσματος.

Λύση

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μεταξύ ενός ορθού τριγώνου και των τριγωνομετρικών λειτουργιών, μπορεί να συμπεράνει ότι το στοιχείο στον άξονα Υ του φορέα Α είναι ίσο με

sin (45 °) = Vy / 4, και συνεπώς Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Από την άλλη πλευρά, έχουμε ότι το στοιχείο στον άξονα Χ του φορέα Α είναι ίσο με

cos (45 °) = Vx / 4, και συνεπώς Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Αναφορές

1. Landaverde, F.D. (1997). Γεωμετρία (Ανατύπωση εκτύπωσης). Πρόοδος.
2. Leake, D. (2006). Τρίγωνα (εικονογραφημένη έκδοση). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C.D. (2006). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
4. Ruiz, Α., & Barrantes, Η. (2006). Γεωμετρίες. CR τεχνολογία.
5. Sullivan, Μ. (1997). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
6. Sullivan, Μ. (1997). Τριγωνομετρία και Αναλυτική Γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.