Πώς να υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες ενός τριγώνου;

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογίστε τις πλευρές και τις γωνίες ενός τριγώνου. Αυτά εξαρτώνται από τον τύπο του τριγώνου με τον οποίο εργάζεστε.

Με αυτήν την ευκαιρία, θα δείξουμε πώς να υπολογίσουμε τις πλευρές και τις γωνίες ενός δεξιού τριγώνου, υποθέτοντας ότι ορισμένα δεδομένα τριγώνου με γνωστά.

Τα στοιχεία που θα χρησιμοποιηθούν είναι:

- Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Δεδομένου ότι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με τα πόδια "a", "b" και hypotenuse "c" είναι αλήθεια ότι "c² = a² + b²".

- Περιοχή ενός τριγώνου

Ο τύπος για τον υπολογισμό της περιοχής οποιουδήποτε τριγώνου είναι A = (b × h) / 2, όπου "b" είναι το μήκος της βάσης και "h" το μήκος του ύψους.

- Γωνίες ενός τριγώνου

Το άθροισμα των τριών εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 180º.

- Οι τριγωνομετρικές λειτουργίες:

Σκεφτείτε ένα σωστό τρίγωνο. Στη συνέχεια, οι ημιτονοειδείς, συνηθισμένες και εφαπτομενικές τριγωνομετρικές λειτουργίες της γωνίας βήτα (β) ορίζονται ως εξής:

(β) = CO / Hip, cos (β) = CA / Hip και μαύρισμα (β) = CO / CA.

Πώς να υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες ενός δεξιού τριγώνου?

Δεδομένου ενός σωστού τριγώνου ABC, μπορεί να προκύψουν οι ακόλουθες καταστάσεις:

1- Τα δύο πόδια είναι γνωστά

Εάν ο κώστας «α» μετρά 3 εκατοστά και ο κώνος «β» μετράει 4 εκατοστά, τότε για να υπολογίσει την τιμή του «γ» χρησιμοποιείται το Πυθαγόρειο θεώρημα. Όταν αντικαθιστούμε τις τιμές των "a" και "b", προκύπτει ότι c2 = 25 cm2, που σημαίνει ότι c = 5 cm.

Τώρα, εάν η γωνία β είναι αντίθετη προς τον κώδιο "b", τότε η αμαρτία (β) = 4/5. Όταν εφαρμόζουμε την αντίστροφη συνάρτηση ημιτονοειδούς, σε αυτή την τελευταία ισότητα λαμβάνουμε ότι β = 53.13º. Δύο εσωτερικές γωνίες του τριγώνου είναι ήδη γνωστές.

Έστω θ η γωνία που μένει να είναι γνωστή, τότε 90º + 53,13º + θ = 180º, από την οποία έχουμε ότι θ = 36,87º.

Σε αυτή την περίπτωση δεν είναι απαραίτητο οι γνωστές πλευρές να είναι τα δύο πόδια, το σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την αξία οποιωνδήποτε δύο πλευρών.

2- Είναι γνωστός ένας γάιδαρος και η περιοχή

Αφήνω a = 3 cm το γνωστό πόδι και A = 9 cm² την περιοχή του τριγώνου.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ένα πόδι μπορεί να θεωρηθεί ως βάση και το άλλο ως ύψος (εφόσον είναι κάθετο).

Υποθέστε ότι το "a" είναι η βάση, επομένως 9 = (3 × h) / 2, από το οποίο προκύπτει ότι ο άλλος κώνος μετρά 6 cm. Για να υπολογίσουμε την υποτείνουσα, προχωρούμε όπως στην προηγούμενη περίπτωση και έχουμε το c = √45 cm.

Τώρα, εάν η γωνία β είναι απέναντι από το πόδι "α", τότε η αμαρτία (β) = 3 / √45. Κατά την εκκαθάριση β λαμβάνουμε ότι η τιμή του είναι 26,57º. Απομένει μόνο να γνωρίζουμε την τιμή της τρίτης γωνίας θ.

Είναι ικανοποιημένο ότι 90º + 26,57º + θ = 180º, από το οποίο προκύπτει ότι θ = 63,43º.

3- Γωνία και πόδι είναι γνωστά

Έστω β = 45 ° είναι η γνωστή γωνία και a = 3 cm το γνωστό σκέλος, όπου το σκέλος "a" είναι απέναντι από τη γωνία β. Χρησιμοποιώντας τον τύπο της εφαπτομένης, λαμβάνουμε ότι το tg (45 °) = 3 / CA, από το οποίο προκύπτει ότι το CA = 3 cm.

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Pythagorean, έχουμε ότι c2 = 18 cm2, δηλαδή, c = 3√2 cm.

Είναι γνωστό ότι μια γωνία μετράει 90 ° και ότι το β μετρά 45 °, από το οποίο προκύπτει ότι η τρίτη γωνία μετράει 45 °.

Σε αυτή την περίπτωση, η γνωστή πλευρά δεν χρειάζεται να είναι ένα πόδι, μπορεί να είναι οποιαδήποτε από τις τρεις πλευρές του τριγώνου.

Αναφορές

1. Landaverde, F. d. (1997). Γεωμετρία (Ανατύπωση εκτύπωσης). Πρόοδος.
2. Leake, D. (2006). Τρίγωνα (εικονογραφημένη έκδοση). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C.D. (2006). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
4. Ruiz, Α., & Barrantes, Η. (2006). Γεωμετρίες. CR τεχνολογία.
5. Sullivan, Μ. (1997). Precalculus. Εκπαίδευση Pearson.
6. Sullivan, Μ. (1997). Τριγωνομετρία και Αναλυτική Γεωμετρία. Εκπαίδευση Pearson.