Ο κανόνας του Σάρρου στο τι συνίσταται και οι τύποι των καθοριστικών παραγόντων

Το Ο κανόνας του Σάρρου χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του αποτελέσματος των καθοριστών 3 × 3. Αυτά χρησιμοποιούνται για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων και γνωρίζουν αν είναι συμβατά.

Τα συμβατά συστήματα σάς επιτρέπουν να έχετε πιο εύκολη τη λύση. Χρησιμοποιούνται επίσης για να προσδιοριστεί εάν τα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν τη βάση του διανυσματικού χώρου.

Αυτές οι εφαρμογές βασίζονται στην δυνατότητα αναστροφής των πινάκων. Εάν μια μήτρα είναι τακτική, ορίζουσα του είναι διαφορετική από το 0. Αν ενικό, ορίζουσα του είναι 0. καθοριστικούς παράγοντες μπορεί να υπολογιστεί μόνο σε τετραγωνικά μήτρες.

Για να υπολογίσετε μήτρες οποιασδήποτε σειράς, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα Laplace. Αυτό το θεώρημα μας επιτρέπει να απλοποιήσουμε τις μήτρες μεγάλων διαστάσεων, σε ποσότητες μικρών προσδιοριστών που αποσυνθέτουμε από την κύρια μήτρα.

Επιβεβαιώνει ότι ο καθοριστικός παράγοντας μιας μήτρας είναι ίσος με το άθροισμα των προϊόντων κάθε σειράς ή στήλης, από τον προσδιοριστή της προσαρτημένης μήτρας.

Αυτό μειώνει τους καθοριστικούς παράγοντες έτσι ώστε ένας καθοριστικός παράγοντας του βαθμού n, γίνεται n καθοριστές του n-1. Αν εφαρμόσουμε αυτόν τον κανόνα στη σειρά, μπορούμε να πάρουμε για να πάρει τους καθοριστικούς παράγοντες της διάστασης 2 (2 × 2) ή 3 (3 × 3), όπου είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί.

Κανόνας Σάρρου

Ο Pierre Frederic Sarrus ήταν Γάλλος μαθηματικός του 19ου αιώνα. Οι περισσότερες από τις μαθηματικές του πραγματείες βασίζονται σε μεθόδους επίλυσης των εξισώσεων και στον υπολογισμό των παραλλαγών, μέσα στις αριθμητικές εξισώσεις.

Σε μία από τις πραγματείες του, επιλύθηκε ένα από τα πιο περίπλοκα αινίγματα της μηχανικής. Για να λύσει τα προβλήματα των άρθρων, ο Σάρρου εισήγαγε τον μετασχηματισμό εναλλακτικών ευθύγραμμων κινήσεων, σε ομοιόμορφες κυκλικές κινήσεις. Αυτό το νέο σύστημα είναι γνωστό ως ο μηχανισμός Sarrus.

Η έρευνα ότι μεγαλύτερη δόξα έδωσε η μαθηματικός ήταν αυτός που εισήγαγε μια νέα μέθοδο υπολογισμού για τον καθορισμό, στο άρθρο του «Nouvelles methodes pour la Ψήφισμα des Εξισώσεις» (Νέα μέθοδος για την επίλυση εξισώσεων), η οποία δημοσιεύθηκε στην το έτος 1833. Αυτός ο τρόπος επίλυσης γραμμικών εξισώσεων είναι γνωστός ως κανόνας του Σάρρου.

Sarrus αποφανθεί για τον υπολογισμό της ορίζουσα μιας μήτρας από 3 × 3, χωρίς τη χρήση της επέκτασης Laplace, εισάγοντας μια πολύ πιο απλή και διαισθητική μέθοδο. Για να μπορέσουμε να ελέγξουμε την τιμή του κανόνα Sarrus, παίρνουμε οποιοδήποτε πίνακα της διάστασης 3:

Ο υπολογισμός του προσδιοριστή του θα γίνει με το προϊόν των κύριων διαγωνίων του, αφαιρώντας το προϊόν από τις αντίστροφοι διαγώνιοι. Αυτό θα είναι το εξής:

Ο κανόνας του Sarrus μας επιτρέπει να έχουμε μια πολύ απλούστερη όραση κατά τον υπολογισμό των διαγώνων του καθοριστικού παράγοντα. Θα απλοποιηθεί προσθέτοντας τις δύο πρώτες στήλες στο πίσω μέρος της μήτρας. Με αυτό τον τρόπο, μπορείτε να δείτε πιο ξεκάθαρα ποιες είναι οι κύριες διαγώνιες σας και ποιες είναι οι αντίστροφοι, για τον υπολογισμό του προϊόντος.

Μέσω αυτής της εικόνας μπορούμε να δούμε την εφαρμογή του κανόνα Sarrus, συμπεριλαμβάνουμε τη σειρά 1 και 2, κάτω από την γραφική αναπαράσταση του αρχικού πίνακα. Με αυτόν τον τρόπο, οι κύριες διαγώνιες είναι οι τρεις διαγωνίες που εμφανίζονται στην πρώτη θέση.

Οι τρεις οπίσθιοι διαγώνιοι, με τη σειρά τους, είναι εκείνοι που εμφανίζονται πρώτα στην πλάτη.

Έτσι, οι διαγώνιοι εμφανίζονται σε μια πιο οπτικό τρόπο, χωρίς να περιπλέκει την ανάλυση της ορίζουσας, προσπαθώ να καταλάβω ποια στοιχεία του πίνακα ανήκουν σε κάθε διαγώνια.

Όπως φαίνεται στην εικόνα, επιλέγουμε τις διαγώνιες και υπολογίζουμε το προϊόν που προκύπτει από κάθε λειτουργία. Οι διαγώνιες που εμφανίζονται με μπλε χρώμα είναι αυτές που προστίθενται. Στο άθροισμα αυτών, αφαιρούμε την τιμή των διαγωνίων που εμφανίζονται με κόκκινο χρώμα.

Για να καταστεί ευκολότερη η συμπίεση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα, αντί να χρησιμοποιήσουμε αλγεβρικούς όρους και δευτερεύοντες όρους.

Αν παίρνουμε οποιαδήποτε μήτρα 3 × 3, για παράδειγμα:

Για να εφαρμοστεί ο κανόνας του Sarrus και να επιλυθεί με πιο οπτικό τρόπο, θα πρέπει να συμπεριλάβουμε τις σειρές 1 και 2, αντίστοιχα, ως σειρά 4 και 5. Είναι σημαντικό να διατηρήσετε τη σειρά 1 στην 4η θέση και τη σειρά 2 στην 5η θέση. Γιατί αν τα ανταλλάξουμε, ο κανόνας του Σάρρου δεν θα είναι αποτελεσματικός.

Για να υπολογίσουμε τον καθοριστικό παράγοντα, ο πίνακας μας θα φαίνεται ως εξής:

Για να συνεχίσουμε με τον υπολογισμό, πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία των κύριων διαγωνίων. Οι φθίνουσες αυτές που ξεκινούν από την αριστερά, θα πάρουν θετικό σημάδι. ενώ οι οπίσθιοι διαγώνιοι, που είναι εκείνοι που ξεκινούν στα δεξιά, φέρουν αρνητικό σημάδι.

Σε αυτό το παράδειγμα, τα μπλε θα πήγαν με ένα θετικό σημάδι και τα κόκκινα με ένα αρνητικό σημάδι. Ο τελικός υπολογισμός του κανόνα του Σάρρου θα φαινόταν έτσι:

Τύποι καθοριστικών παραγόντων

Ο καθοριστής της διάστασης 1

Εάν η διάσταση της μήτρας είναι 1, η μήτρα είναι αυτής της μορφής: Α = (α)

Επομένως, ο προσδιοριστής του θα είναι ο εξής: det (A) = | A | = a

Συνοπτικά, ο προσδιοριστής της μήτρας Α είναι ίσος με την απόλυτη τιμή της μήτρας Α, η οποία στην περίπτωση αυτή είναι α.

Ο καθοριστής της διάστασης 2

Αν πάμε σε μήτρες της διάστασης 2, παίρνουμε πίνακες του τύπου:

Όταν ο καθοριστικός παράγοντας ορίζεται ως:

Η ανάλυση αυτού του προσδιοριστικού βασίζεται στον πολλαπλασιασμό της κύριας διαγώνιας του, αφαιρώντας το προϊόν από την αντίστροφη διαγώνιο του.

Ως μνημονικός κανόνας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω διάγραμμα για να θυμόμαστε τον καθοριστικό του παράγοντα:

Ο καθοριστής της διάστασης 3

Εάν η διάσταση της μήτρας είναι 3, η προκύπτουσα μήτρα θα είναι αυτού του τύπου:

Ο καθοριστικός παράγοντας αυτού του πίνακα θα επιλυθεί μέσω του κανόνα του Σάρρου με αυτόν τον τρόπο:

Αναφορές

1. Jenny Olive (1998) Μαθηματικά: Οδηγός επιβίωσης του φοιτητή. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30-Second Μαθηματικά: Οι 50 πιο μυαλό-επεκτατικές θεωρίες στα μαθηματικά. Ivy Press Limited.
3. Ο Dave Kirkby (2004) συνδέει τα μαθηματικά. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) Μια μελέτη για τον υπολογισμό των προσδιοριστών ενός Matrix 3 × 3. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Αντώνιος Νικολαΐδης (1994) Προσδιοριστικοί παράγοντες και πλέγματα. Δημοσίευση.
6. Jesse Russell (2012) Κανόνας του Σάρρου.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα. ESIC Editorial.