Τι είναι το Vector και ποια είναι τα Χαρακτηριστικά του;

Α φορέα είναι μια ποσότητα ή ένα φαινόμενο που έχει δύο ανεξάρτητες ιδιότητες: μέγεθος και κατεύθυνση. Ο όρος επίσης υποδηλώνει τη μαθηματική ή γεωμετρική αναπαράσταση μιας τέτοιας ποσότητας.

Παραδείγματα φορέων στη φύση είναι η ταχύτητα, η δύναμη, τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία και το βάρος. Ένα ποσό ή ένα φαινόμενο που δείχνει μόνο μέγεθος, χωρίς συγκεκριμένη κατεύθυνση, ονομάζεται κλιμακωτή.

Παραδείγματα κλιμάκων περιλαμβάνουν ταχύτητα, μάζα, ηλεκτρική αντίσταση και χωρητικότητα αποθήκευσης σκληρού δίσκου.

Οι φορείς μπορούν να εκπροσωπούνται γραφικά σε δύο ή τρεις διαστάσεις. Το μέγεθος εμφανίζεται ως το μήκος ενός τμήματος. Η κατεύθυνση φαίνεται από τον προσανατολισμό του τμήματος και από ένα βέλος στο ένα άκρο.

Η παραπάνω απεικόνιση δείχνει τρεις φορείς σε δισδιάστατες ορθογώνιες συντεταγμένες (το καρτεσιανό επίπεδο) και τα αντίστοιχά τους σε πολικές συντεταγμένες.

Οι φορείς στη φυσική

Στη φυσική, όταν έχετε ένα διάνυσμα, πρέπει να λάβετε υπόψη δύο ποσότητες: την κατεύθυνση και το μέγεθός του. Οι ποσότητες που έχουν μόνο ένα μέγεθος ονομάζονται κλιμάκωση. Εάν δίνεται μια κατεύθυνση σε μια κλιμακωτή ποσότητα, δημιουργείται ένας φορέας.

Οπτικά βλέπετε διανύσματα που έχουν σχεδιαστεί ως βέλη, το οποίο είναι τέλειο επειδή ένα βέλος έχει μια σαφή κατεύθυνση και ένα σαφές μέγεθος (το μήκος του βέλους).

Στο σχήμα που ακολουθεί το βέλος αντιπροσωπεύει ένα διάνυσμα που ξεκινά από τον πόδι του βέλους (που ονομάζεται επίσης ουρά) και τελειώνει στο κεφάλι.

Στη φυσική, ένα τολμηρό γράμμα συνήθως χρησιμοποιείται για να αντιπροσωπεύει ένα διάνυσμα, αν και μπορεί επίσης να εκπροσωπείται ως ένα γράμμα με ένα βέλος πάνω του..

Το βέλος σημαίνει ότι δεν είναι απλά μια βαθμωτή τιμή, η οποία θα εκπροσωπείται από το Α, αλλά και κάτι με κατεύθυνση.

Διαφορές μεταξύ διανύσματος και κλιμάκωσης

Οι τιμές που δεν είναι φορείς είναι κλιμακωτές. Για παράδειγμα, μια τέτοια ποσότητα 500 μήλων είναι κλιμακωτή, δεν έχει διεύθυνση, είναι μόνο ένα μέγεθος. Ο χρόνος είναι επίσης βαθειός, δεν έχει κατεύθυνση.

Ωστόσο, η ταχύτητα είναι ένας φορέας δεδομένου ότι δεν καθορίζει μόνο το μέγεθος (ταχύτητα) της διαδρομής, αλλά και την κατεύθυνση (και κατεύθυνση) της διαδρομής.

Για παράδειγμα, η γραμμή δράσης του διανύσματος ταχύτητας μπορεί

να είναι 30 ° από το οριζόντιο. Επομένως, γνωρίζουμε σε ποια κατεύθυνση κινείται το αντικείμενο.

Ωστόσο, αυτό δεν διευκρινίζει ακόμα την κατεύθυνση του ταξιδιού, είτε πρόκειται για απομάκρυνση είτε για να πλησιάσουμε σε εμάς. Επομένως, καθορίζουμε επίσης την κατεύθυνση στην οποία το διάνυσμα δρα μέσω ενός βέλους.

Η ισχύς, η επιτάχυνση και η διανυθείσα απόσταση είναι επίσης φορείς. Για παράδειγμα, λέγοντας ότι ένα αυτοκίνητο που κινείται 10 μέτρα δεν δείχνει προς ποια κατεύθυνση κινήθηκε. Για να καθορίσετε πλήρως την κίνηση, είναι επίσης απαραίτητο να καθορίσετε την κατεύθυνση και την κατεύθυνση της κίνησης.

Η δύναμη είναι επίσης ένα διάνυσμα γιατί αν τραβήξετε ένα αντικείμενο προς τον εαυτό σας έρχεται κοντά σε σας και αν σπρώξετε το αντικείμενο μακριά από σας. Έτσι η δύναμη έχει μια κατεύθυνση και μια αίσθηση, και ως εκ τούτου, είναι ένας φορέας.

Παράδειγμα

Ως παραδείγματα των πληροφοριών που παρέχει ένας φορέας, έχουμε τα εξής:

Αναζήτηση για μια χρυσή τσάντα

Ας υποθέσουμε ότι ένας δάσκαλος σας λέει: "Μια τσάντα χρυσού είναι έξω από την αίθουσα διδασκαλίας, για να την βρείτε, κινήστε 20 μέτρα". Η δήλωση αυτή σίγουρα θα σας ενδιαφέρει, ωστόσο, δεν υπάρχουν αρκετές πληροφορίες που περιλαμβάνονται στη δήλωση για να βρείτε τη χρυσή τσάντα.

Η μετατόπιση που απαιτείται για να βρεθεί ο χρυσός σάκος δεν έχει περιγραφεί πλήρως. Από την άλλη πλευρά, υποθέστε ότι ο δάσκαλός σας σας λέει: "Μια τσάντα χρυσού βρίσκεται έξω από την τάξη, για να βρεθεί να μετακινηθεί από το κέντρο της πόρτας της τάξης 20 μέτρα προς μια κατεύθυνση 30 ° προς τα δυτικά του βορρά".

Αυτή η δήλωση παρέχει τώρα μια πλήρη περιγραφή του διανύσματος μετατόπισης, που αναφέρει το μέγεθος (20 μέτρα) και την κατεύθυνση (30 ° δυτικά του βορρά) σε σχέση με τη θέση αναφοράς ή την αναχώρηση (το κέντρο της πόρτας της κλάσης). ).

Οι ποσότητες του διάνυσμα δεν περιγράφονται πλήρως εκτός εάν υποδεικνύεται τόσο το μέγεθος όσο και η κατεύθυνση.

Μετατόπιση αυτοκινήτου

Όταν κινούμαστε σε ένα αυτοκίνητο χρησιμοποιούμε διαφορετικούς φορείς. Αυτά τα διανύσματα εμφανίζονται κάθε φορά που αλλάζουμε την ταχύτητα.

Όταν επιταχύνουμε να προσπεράσουμε ένα άλλο αυτοκίνητο, προσθέτουμε μεταβλητές κατεύθυνσης και ταχύτητας που συνθέτουν ένα νέο φορέα.

Από την άλλη πλευρά, όταν θέλουμε να μειώσουμε την ταχύτητα, αφαιρούμε τους φορείς που αντιστοιχούν στην εν λόγω επιβράδυνση.

Με μια άλλη έννοια, όταν αντιστρέφουμε χωρίς να αλλάζουμε την ταχύτητα, αλλάζουμε την έννοια στο διάνυσμα που προκύπτει από την κίνηση του αυτοκινήτου.

Ανοίξτε μια πόρτα

Όταν ανοίγουμε μια πόρτα χρησιμοποιούμε αρκετούς φορείς. Πρώτον, πρέπει να εκτυπώσουμε μια δύναμη σε μια δεδομένη κατεύθυνση για να γυρίσουμε το κουμπί της πόρτας, τότε πρέπει να σπρώξουμε την πόρτα σε μια δεδομένη κατεύθυνση, εκτυπώνοντας μια δύναμη.

Αυτές οι τιμές δύναμης και κατεύθυνσης αντιστοιχούν στους διανύσματα που χρησιμοποιούνται για το άνοιγμα μιας πόρτας. Η διαδικασία κλεισίματος μιας πόρτας θα δημιουργήσει ένα νέο διάνυσμα, στο οποίο η τιμή του θα είναι αρνητική σε σχέση με αυτή που δόθηκε αρχικά για να το ανοίξει.

Μετακινήστε ένα κουτί

Όταν θέλουμε να σπρώξουμε ένα κουτί που είναι πολύ βαρύ, πρέπει να ασκήσουμε μια δύναμη στην πλευρική του επιφάνεια. Αυτή η δύναμη πρέπει να ασκείται σε μία κατεύθυνση, έτσι ώστε το κιβώτιο να μπορεί να κινηθεί.

Στην περίπτωση αυτή, ο φορέας θα προκύψει από το συνδυασμό δύναμης και κατεύθυνσης που εφαρμόζεται για τη μετακίνηση του κιβωτίου.

Σε περίπτωση που η δύναμη δεν χρησιμοποιείται για να σπρώξει το κιβώτιο, αλλά για να το ανυψώσει κατακόρυφα, θα εμφανιστεί ένα νέο διάνυσμα.

Αυτό το διάνυσμα θα αποτελείται από τον κατακόρυφο άξονα στον οποίο ανυψώνεται το κιβώτιο και τη δύναμη που ασκείται για την ανύψωσή του.

Μετακινήστε ένα πλακάκι σκακιού

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ένα σκάκι σκάκι μπορεί να μετακινηθεί στην επιφάνεια του τραπεζιού - σε μια δεδομένη κατεύθυνση και, εφαρμόζοντας μια συγκεκριμένη δύναμη - για να αλλάξει τη θέση του επί του σκάφους, δημιουργώντας ένα διάνυσμα.

Μπορεί επίσης να ανυψωθεί από το σκάφος, δημιουργώντας ένα νέο φορέα κάθετα.

Πατήστε ένα κουμπί

Ένα botó θα πατηθεί μόνο σε μία κατεύθυνση, που δίνεται από το ίδιο σύστημα που περιέχει το κουμπί.

Για να πιέσετε αυτό το κουμπί, είναι απαραίτητο να εφαρμόσετε μια δύναμη με το δάκτυλο. Από την άσκηση αυτής της κίνησης θα προκύψει ένας φορέας.

Παίξτε μπιλιάρδο

Η δράση του να χτυπήσει μια μπάλα μπιλιάρδου με το ξύλινο σύνθημα οδηγεί αμέσως σε ένα διάνυσμα, αφού έχει το αποτέλεσμα δύο μεγεθών: δύναμη και κατεύθυνση.

Μια δύναμη θα εφαρμοστεί στην μπάλα μπιλιάρδου, για να την μετακινήσετε σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Η μπάλα μπιλιάρδου στο τραπέζι θα έχει μια προηγουμένως καθιερωμένη αίσθηση, η οποία θα εξαρτηθεί από την απόφαση του παίκτη.

Τραβώντας ένα αυτοκίνητο παιχνιδιών

Όταν ένα παιδί παίρνει το αυτοκίνητο του παιχνιδιού και το τραβά σε ένα σχοινί, ή το απλά το χειρίζεται με τα χέρια του, θα δημιουργήσει πολυάριθμους φορείς.

Κάθε φορά που το παιδί αλλάζει την ταχύτητα ή την κατεύθυνση στην οποία κινείται το αυτοκίνητο, θα δημιουργήσει ένα νέο διάνυσμα.

Οι μεταβλητές του φορέα, στην περίπτωση αυτή, θα αποτελούνται από την ενέργεια που το παιδί εφαρμόζει στο αυτοκίνητο και την κατεύθυνση στην οποία επιθυμεί να τον μετακινήσει..

Εκπροσώπηση των φορέων

Οι ποσότητες των φορέων αντιπροσωπεύονται συχνά από διαβαθμισμένα διαγράμματα διανυσμάτων.

Τα διανυσματικά διαγράμματα αντιπροσωπεύουν ένα διάνυσμα χρησιμοποιώντας ένα βέλος που σύρεται σε κλίμακα σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Ένα κατάλληλο διανυσματικό διάγραμμα πρέπει να έχει αρκετά χαρακτηριστικά:

• Μια κλίμακα αναγράφεται σαφώς.
• Παίζεται ένα βέλος διανύσματος (με κεφαλή βέλους) σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Το βέλος διανύσματος έχει ένα κεφάλι και μια ουρά.
• Το μέγεθος και η κατεύθυνση του φορέα είναι σαφώς επισημασμένα.

Διεύθυνση ενός φορέα

Οι φορείς μπορούν να κατευθύνονται ανατολικά, δυτικά, νότια και βόρεια. Ορισμένοι φορείς όμως κατευθύνονται προς τα βορειοανατολικά (σε γωνία 45 °). Επομένως, υπάρχει σαφής ανάγκη να προσδιοριστεί η κατεύθυνση ενός φορέα που δεν εξαρτάται από το βορρά, το νότο, την ανατολή ή τη δύση.

Υπάρχουν διάφορες συμβάσεις που περιγράφουν την κατεύθυνση οποιουδήποτε φορέα, όμως μόνο δύο από αυτές θα εξηγηθούν παρακάτω.

1-Η κατεύθυνση ενός διανύσματος εκφράζεται συχνά ως γωνία περιστροφής του φορέα γύρω από την "ουρά" του στα ανατολικά, δυτικά, βόρεια ή νότια.

Για παράδειγμα, μπορεί να ειπωθεί ότι ένα διάνυσμα έχει διεύθυνση 40 ° βόρεια της δύσης (δηλαδή ένα διάνυσμα που δείχνει δυτικά έχει μετατραπεί σε 40 ° προς τη βόρεια κατεύθυνση) ή ότι έχει διεύθυνση 65 ° στα ανατολικά του νότου (πράγμα που σημαίνει ότι ένα διάνυσμα που δείχνει νότια έχει περιστρέψει 65 ° προς τα ανατολικά).

2-Η κατεύθυνση ενός διανύσματος εκφράζεται συχνά ως γωνία στροφής στην αριστερόστροφη κατεύθυνση του διανύσματος. Χρησιμοποιώντας αυτή τη σύμβαση, ένας φορέας με κατεύθυνση 30 ° είναι ένας φορέας ο οποίος έχει περιστραφεί κατά 30 ° προς την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού σε σχέση με την ανατολή.

Ένας φορέας με κατεύθυνση 160 ° είναι ένας φορέας που έχει περιστραφεί κατά 160 ° σε μία αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού σε σχέση με την ανατολή. Ένας φορέας με κατεύθυνση 270 ° είναι ένας φορέας ο οποίος έχει περιστραφεί κατά 270 ° σε διεύθυνση αντίθετη προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού σε σχέση με την ανατολή.

Μέγεθος διανύσματος

Το μέγεθος ενός διανύσματος σε διάγραμμα διαβαθμισμένου διανύσματος αντιπροσωπεύεται από το μήκος του βέλους. Το βέλος σχεδιάζεται με ακριβές μήκος σύμφωνα με την επιλεγμένη κλίμακα.

Για παράδειγμα, αν θέλετε να σχεδιάσετε ένα διάνυσμα που έχει μέγεθος 20 μέτρων, μπορείτε να επιλέξετε ως κλίμακα 1 cm = 5 μέτρα και να σχεδιάσετε ένα βέλος με μήκος 4 cm.

Χρησιμοποιώντας την ίδια κλίμακα (1 cm = 5 μέτρα), ένα διάνυσμα μετατόπισης 15 μέτρων θα αντιπροσωπεύεται από ένα βέλος διανύσματος μήκους 3 cm.

Με τον ίδιο τρόπο, ένα διάνυσμα μετατόπισης 25 μέτρων αντιπροσωπεύεται από ένα βέλος μήκους 5 cm. Και τέλος, ένα διάνυσμα μετατόπισης 18 μέτρων αντιπροσωπεύεται από βέλος μήκους 3,6 cm.

Άλλα χαρακτηριστικά των φορέων

Ισότητα: λέγεται ότι δύο φορείς είναι ίσοι αν έχουν το ίδιο μέγεθος και κατεύθυνση. Παρομοίως, θα είναι ίσες αν οι συντεταγμένες τους είναι ίσες.

Αντιπολίτευση: δύο φορείς είναι αντίθετοι εάν έχουν το ίδιο μέγεθος αλλά αντίθετη κατεύθυνση.

Parallels: δύο φορείς είναι παράλληλοι αν έχουν την ίδια κατεύθυνση, αλλά όχι απαραίτητα το ίδιο μέγεθος ή αντιπαράλληλοι εάν έχουν την αντίθετη κατεύθυνση αλλά όχι απαραίτητα το ίδιο μέγεθος.

Μονάδα διανυσμάτων: ένας φορέας μονάδας είναι οποιοσδήποτε φορέας μήκους ενός.

Το διάνυσμα μηδέν: ο μηδενικός φορέας είναι ο φορέας με μηδενικό μήκος. Σε αντίθεση με οποιοδήποτε άλλο φορέα, έχει μια αυθαίρετη ή απροσδιόριστη κατεύθυνση και δεν μπορεί να εξομαλυνθεί

Αναφορές

1. Jong IC, Rogers BG. Μηχανική μηχανικής: στατική (1991). Δημοσιεύσεις κολλεγίων του Saunders.
2. Ito K. Encyclopedic Dictionary of Mathematics (1993). MIT Press.
3. Ivanov ΑΒ. Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
5. Lang S. Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα (1986). Springer.
6. Niku S. Τεχνικές αρχές στην καθημερινή ζωή για τους μη μηχανικούς (2016). Morgan & Claypool.
7. Pedoe D. Γεωμετρία: μια ολοκληρωμένη πορεία (1988). Ντόβερ.