Ταξινόμηση των πραγματικών αριθμών

Το κύριο ταξινόμηση πραγματικών αριθμών Είναι χωρισμένο σε φυσικούς αριθμούς, ακέραιους αριθμούς, λογικούς αριθμούς και παράλογους αριθμούς. Οι πραγματικοί αριθμοί αναπαρίστανται με το γράμμα R.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους μπορούν να κατασκευαστούν ή να περιγραφούν διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί, που κυμαίνονται από απλούστερους έως πιο πολύπλοκους, ανάλογα με το μαθηματικό έργο που θέλετε να εκτελέσετε.

Πώς ταξινομούνται οι πραγματικοί αριθμοί;?

Φυσικοί αριθμοί

Είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν, όπως για παράδειγμα "υπάρχουν τέσσερα λουλούδια στο ποτήρι".

Ορισμένοι ορισμοί ξεκινούν τους φυσικούς αριθμούς σε 0, ενώ άλλοι ορισμοί αρχίζουν στο 1. Οι φυσικοί αριθμοί είναι αυτοί που χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ... κ.λπ. χρησιμοποιούνται ως κανονικοί ή καρδινάλιοι αριθμοί.

Φυσικά οι αριθμοί είναι οι βάσεις με τις οποίες πολλά σύνολα αριθμών μπορεί να κατασκευαστεί κατ 'επέκταση: ακέραιοι, ορθολογική αριθμοί, πραγματικοί αριθμοί, μιγαδικών αριθμών και το κ.λπ..

Αυτές οι αλυσίδες επέκτασης αποτελούν τους φυσικούς αριθμούς που αναγνωρίζονται κανονικά στα άλλα συστήματα αριθμών.

Οι ιδιότητες των φυσικών αριθμών, όπως η διαίρεση και η κατανομή των πρωτογενών αριθμών, μελετώνται στη θεωρία αριθμών.

Προβλήματα που σχετίζονται με την καταμέτρηση και την παραγγελία, όπως οι απαριθμήσεις και η κατανομή, μελετώνται στο συνδυαστικό.

Στην κοινή γλώσσα, όπως και στα δημοτικά σχολεία, οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να ονομαστούν αριθμοί που μπορούν να μετρηθούν για να αποκλειστούν αρνητικοί ακέραιοι και μηδέν.

Έχουν πολλές ιδιότητες, όπως: προσθήκη, πολλαπλασιασμό, αφαίρεση, διαίρεση κλπ..

Ολόκληροι αριθμοί

Ολόκληροι αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν χωρίς μια κλασματική συνιστώσα. Για παράδειγμα: 21, 4, 0, -76, κλπ. Από την άλλη πλευρά, αριθμοί όπως 8.58 ή √2 δεν είναι ολόκληροι αριθμοί.

Μπορούμε να πούμε ότι ολόκληροι αριθμοί είναι πλήρεις αριθμοί μαζί με αρνητικούς αριθμούς φυσικών αριθμών. Χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν τα χρήματα που οφείλονται, τα βάθη σχετικά με τη στάθμη της θάλασσας ή τη θερμοκρασία του υποβρύχιο, για να αναφέρουμε μερικές χρήσεις.

Ένα σύνολο ακεραίων αποτελείται από μηδέν (0), θετικούς φυσικούς αριθμούς (1,2,3 ...), και αρνητικούς ακέραιους αριθμούς (-1, -2, -3 ...). Γενικά αυτό ονομάζεται με ZZ ή με έντονο Z (Z). 

Το Z είναι ένα υποσύνολο της ομάδας των ορθολογικών αριθμών Q, που με τη σειρά τους αποτελούν την ομάδα των πραγματικών αριθμών R. Όπως φυσικοί αριθμοί, το Ζ είναι μια άπειρη λογιστική ομάδα.

Ολόκληροι αριθμοί αποτελούν τη μικρότερη ομάδα και το μικρότερο σύνολο φυσικών αριθμών. Στη θεωρία των αλγεβρικών αριθμών, ακέραιοι αριθμοί αποκαλούνται μερικές φορές παράλογοι ακεραίοι για να τους διακρίνουν από αλγεβρικό ακεραίους.

Ορθολογικοί αριθμοί

Ένας λογικός αριθμός είναι οποιοσδήποτε αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το συστατικό ή κλάσμα δύο ακέραιων αριθμών p / q, ενός αριθμητή p και ενός παρονομαστή q. Δεδομένου ότι το q μπορεί να είναι ίσο με 1, κάθε ακέραιος αριθμός είναι ένας λογικός αριθμός.

Το σύνολο των λογικών αριθμών, συχνά αναφερόμενο ως "το λογικό", υποδηλώνεται από ένα Q. 

Η δεκαδική επέκταση ενός ορθολογικού αριθμού τελειώνει πάντα μετά από ένα πεπερασμένο αριθμό ψηφίων ή όταν η ίδια πεπερασμένη ακολουθία ψηφίων επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά.

Επιπλέον, κάθε επαναλαμβανόμενο τερματικό δεκαδικό αντιπροσωπεύει έναν ορθολογικό αριθμό. Αυτές οι δηλώσεις ισχύουν όχι μόνο για τη βάση 10, αλλά και για οποιαδήποτε άλλη βάση αριθμών.

Ένας πραγματικός αριθμός που δεν είναι λογικός ονομάζεται παράλογος. Οι παράλογοι αριθμοί περιλαμβάνουν √2, π και e, για παράδειγμα. Δεδομένου ότι ολόκληρο το σύνολο των αριθμητικών αριθμών είναι μετρήσιμο και ότι η ομάδα των πραγματικών αριθμών δεν μπορεί να μετρηθεί, μπορεί να ειπωθεί ότι σχεδόν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι παράλογοι.

Ορθολογική αριθμοί μπορούν να ορίζονται τυπικά ως κλάσεις ισοδυναμίας των ζευγών ακεραίων (p, q), έτσι ώστε το q ≠ 0 ή η ισοδύναμη αναλογία ορίζεται από (p1, q1) (p2, q2) μόνον εάν p1, q2 = p2q1.

Οι λογικοί αριθμοί, μαζί με την προσθήκη και τον πολλαπλασιασμό, σχηματίζουν πεδία που συνθέτουν ολόκληρους αριθμούς και περιέχονται σε οποιοδήποτε κλάδο που περιέχει ακέραιους αριθμούς.

Παράλογους αριθμούς

Οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι λογικοί αριθμοί. Οι παράλογοι αριθμοί δεν μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα. Οι λογικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που αποτελούνται από κλάσματα ολόκληρων αριθμών.

Ως αποτέλεσμα της Cantor τεστ λέγοντας ότι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι αμέτρητες και ορθολογική αν είναι αναρίθμητες, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι σχεδόν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι παράλογο.

Όταν η ακτίνα μήκους δύο γραμμικών τμημάτων είναι ένας παράλογος αριθμός, μπορεί να ειπωθεί ότι αυτά τα τμήματα γραμμών είναι ασύμμετρα. πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχει επαρκές μήκος έτσι ώστε κάθε ένα από αυτά να μπορεί να "μετρηθεί" με έναν συγκεκριμένο πολλαπλό ακέραιο αριθμό.

Μεταξύ οι άρρητους αριθμούς π, εντός περιφερείας του κύκλου προς τη διάμετρό του, ο αριθμός των Euler (ε), η χρυσή αναλογία (φ) και η τετραγωνική ρίζα του δύο? ακόμα περισσότερο, όλες οι τετραγωνικές ρίζες των φυσικών αριθμών είναι παράλογες. Η μόνη εξαίρεση σε αυτόν τον κανόνα είναι τα τέλεια τετράγωνα.

Μπορεί να φανεί ότι όταν οι παράλογη αριθμοί εκφράζονται κατά θέση σε ένα αριθμητικό σύστημα (όπως σε δεκαδικούς αριθμούς) δεν τελειώνουν ή επανάληψη.

Αυτό σημαίνει ότι δεν περιέχουν μια ακολουθία ψηφίων, την επανάληψη με την οποία γίνεται μια γραμμή αντιπροσώπευσης.

Για παράδειγμα, η δεκαδική αναπαράσταση του π αρχίζει με 3,14159265358979 αριθμό, αλλά υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός των ψηφίων που μπορεί να αντιπροσωπεύει ακριβώς π, ή ότι μπορεί να επαναληφθεί.

Η απόδειξη ότι η δεκαδική επέκταση ενός λογικού αριθμού πρέπει να τερματιστεί ή να επαναληφθεί είναι διαφορετική από την απόδειξη ότι μια δεκαδική επέκταση πρέπει να είναι ένας ορθολογικός αριθμός. αν και βασικές και κάπως μακρές, αυτές οι δοκιμές χρειάζονται κάποια εργασία.

Συνήθως οι μαθηματικοί δεν παίρνουν γενικά την έννοια του "τερματισμού ή επανάληψης" για να καθορίσουν την έννοια ενός λογικού αριθμού.

Οι παράλογοι αριθμοί μπορούν επίσης να αντιμετωπιστούν με μη συνεχή κλάσματα. 

Αναφορές

1. Ταξινόμηση πραγματικών αριθμών. Ανακτήθηκε από το chilimath.com.
2. Φυσικός αριθμός Ανακτήθηκε από το wikipedia.org.
3. Ταξινόμηση αριθμών. Ανάκτηση από ditutor.com.
4. Ανακτήθηκε από το wikipedia.org.
5. Παράλογου αριθμού Ανακτήθηκε από το wikipedia.org.