3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων και τρόπος επίλυσής τους

Το γραμμικές εξισώσεις είναι πολυώνυμες εξισώσεις με ένα ή περισσότερα άγνωστα. Στην περίπτωση αυτή, τα άγνωστα δεν ανυψώνονται σε εξουσίες, ούτε πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους (στην περίπτωση αυτή λέγεται ότι η εξίσωση είναι βαθμού 1 ή πρώτου βαθμού).

Μια εξίσωση είναι μια μαθηματική ισότητα όπου υπάρχει ένα ή περισσότερα άγνωστα στοιχεία που θα καλέσουμε άγνωστα ή άγνωστα στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότερα από ένα. Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση είναι απαραίτητο να μάθουμε την αξία των άγνωστων.

Μια γραμμική εξίσωση έχει την ακόλουθη δομή:

α₀· 1 + α₁· Χ₁+ α₂· Χ₂+... + α_n· Χ_n= β

Πού να₀, α₁, α₂,..., α_n είναι πραγματικοί αριθμοί από τους οποίους γνωρίζουμε την αξία τους και καλούνται συντελεστές, β είναι επίσης ένας γνωστός πραγματικός αριθμός ο οποίος ονομάζεται ανεξάρτητος όρος. Και τέλος είναι X₁, Χ_2,..., Χ_n τα οποία είναι γνωστά ως άγνωστα. Αυτές είναι οι μεταβλητές των οποίων η αξία είναι άγνωστη.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων όπου η τιμή των άγνωστων είναι η ίδια σε κάθε εξίσωση.

Λογικά, ο τρόπος επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων αποδίδει αξίες στα άγνωστα, έτσι ώστε να μπορεί να εξακριβωθεί η ισότητα. Δηλαδή, τα άγνωστα πρέπει να υπολογίζονται έτσι ώστε όλες οι εξισώσεις του συστήματος να εκπληρώνονται ταυτόχρονα. Αντιπροσωπεύουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ως εξής

α₀· 1 + α₁· Χ₁ + α₂· Χ₂ +... + α_n· Χ_n = α_{n + 1}

β₀· 1 + β₁· Χ₁ + β₂· Χ₂ +... + β_n· Χ_n = β_{n + 1}

γ₀· 1 + γ₁· Χ₁ + γ₂· Χ₂ +... + γ_n· Χ_n = γ_{n + 1}

... .

δ₀· 1 + d₁· Χ₁ + δ₂· Χ₂ +... + δ_n· Χ_n = d_{n + 1}

 όπου α_0, α₁,..., α_n,β₀,β₁,..., β_n ,γ₀ ,γ₁,..., γ_n κ.λπ. μας πραγματικοί αριθμοί και τα άγνωστα που λύνουν είναι το Χ₀,..., Χ_n ,Χ_{n + 1}.

Κάθε γραμμική εξίσωση αντιπροσωπεύει μια γραμμή και επομένως ένα σύστημα εξισώσεων Ν γραμμικών εξισώσεων αντιπροσωπεύει N ευθείς γραμμένες στο διάστημα.

Ανάλογα με τον αριθμό των άγνωστων που έχει κάθε γραμμική εξίσωση, η γραμμή που αντιπροσωπεύει την εν λόγω εξίσωση θα αντιπροσωπεύεται σε μια διαφορετική διάσταση, δηλαδή μια εξίσωση με δύο άγνωστα (για παράδειγμα, 2 · X₁ + Χ₂ = 0) αντιπροσωπεύει μια γραμμή σε ένα δισδιάστατο χώρο, μια εξίσωση με τρία άγνωστα (για παράδειγμα 2 · X₁ + Χ₂ - 5 · Χ₃ = 10) θα αντιπροσωπευόταν σε έναν τρισδιάστατο χώρο και ούτω καθεξής.

Κατά την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων, οι τιμές του Χ₀,..., Χ_n ,Χ_{n + 1} τυχαίνει να είναι τα σημεία κοπής μεταξύ των γραμμών.

Με την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων μπορούμε να φτάσουμε σε διαφορετικά συμπεράσματα. Ανάλογα με τον τύπο του αποτελέσματος που λαμβάνουμε, μπορούμε να διακρίνουμε μεταξύ 3 τύπων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων:

1- Απροσδιόριστη συμβατότητα

Παρόλο που μπορεί να ακούγεται σαν αστείο, είναι πιθανό ότι όταν προσπαθούμε να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων, θα φτάσουμε σε ένα προφανές στυλ 0 = 0.

Αυτό το είδος της κατάστασης συμβαίνει όταν υπάρχουν άπειρες λύσεις για το σύστημα των εξισώσεων και αυτό συμβαίνει όταν αποδειχθεί ότι στο σύστημά μας εξισώσεων οι εξισώσεις αντιπροσωπεύουν την ίδια γραμμή. Μπορούμε να το δούμε γραφικά:

Ως σύστημα εξισώσεων λαμβάνουμε:

Έχοντας 2 εξισώσεις με 2 άγνωστα για επίλυση μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε τις γραμμές σε ένα δισδιάστατο επίπεδο

Όπως μπορούμε να δούμε τις γραμμές με το ίδιο, επομένως όλα τα σημεία της πρώτης εξίσωσης συμπίπτουν με εκείνα της δεύτερης εξίσωσης, επομένως έχει τόσα σημεία κοπής όπως τα σημεία που έχει η γραμμή, δηλαδή τα άπειρα.

2- Ασυμβίβαστο

Κατά την ανάγνωση του ονόματος μπορούμε να φανταστούμε ότι το επόμενο σύστημα εξισώσεων δεν θα έχει λύση.

Αν προσπαθήσουμε να λύσουμε, για παράδειγμα, αυτό το σύστημα εξισώσεων

Γραφικά θα ήταν:

Αν πολλαπλασιάσουμε όλους τους όρους της δεύτερης εξίσωσης, έχουμε ότι X + Y = 1 ισούται με 2 · X + 2 · Y = 2. Και αν αυτή η τελευταία έκφραση αφαιρεθεί από την πρώτη εξίσωση, αποκτάμε

2 · Χ-2 · Χ + 2 · Υ-2 · Υ = 3-2

Ή τι είναι το ίδιο

0 = 1

Όταν βρισκόμαστε σε αυτή την κατάσταση, σημαίνει ότι οι γραμμές που αντιπροσωπεύονται στο σύστημα των εξισώσεων είναι παράλληλες, πράγμα που σημαίνει ότι εξ ορισμού δεν κοπούν και δεν υπάρχει σημείο κοπής. Όταν ένα σύστημα παρουσιάζεται με αυτό τον τρόπο λέγεται ότι είναι ασυνεπές ανεξάρτητο.

3 - Καθορισμένη υποστήριξη

Τέλος, φτάνουμε στην περίπτωση όπου το σύστημά μας των εξισώσεων έχει μια ενιαία λύση, στην περίπτωση που έχουμε γραμμές που διασταυρώνονται και παράγουν ένα σημείο τομής. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Για να το λύσουμε μπορούμε να προσθέσουμε τις δύο εξισώσεις έτσι ώστε να αποκτήσουμε

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Αν απλοποιήσουμε, έχουμε αφήσει

5 · Χ + 0 · Υ = 5 · Χ = 10

Από το οποίο μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε ότι Χ = 2 και αντικαθιστώντας ή Χ = 2 σε οποιαδήποτε από τις αρχικές εξισώσεις έχουμε Y = 3.

Οπτικά θα ήταν:

Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Όπως έχουμε δει στην προηγούμενη ενότητα, για συστήματα με 2 άγνωστα και 2 εξισώσεις, με βάση απλές λειτουργίες όπως προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση και υποκατάσταση, μπορούμε να τις λύσουμε μέσα σε λίγα λεπτά. Αλλά αν προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε αυτήν τη μεθοδολογία σε συστήματα με περισσότερες εξισώσεις και πιο άγνωστα, οι υπολογισμοί γίνονται κουραστικόι και μπορούμε εύκολα να σφάλουμε.

Για να απλουστευθούν οι υπολογισμοί υπάρχουν αρκετές μέθοδοι επίλυσης, αλλά αναμφισβήτητα οι πιο διαδεδομένες μέθοδοι είναι ο κανόνας Cramer και η εξάλειψη του Gauss-Jordan..

Cramer

Προκειμένου να εξηγηθεί πώς εφαρμόζεται αυτή η μέθοδος είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ποια είναι η μήτρα της και να γνωρίζουμε πώς να βρούμε τον καθοριστικό της, ας κάνουμε μια παρένθεση για να ορίσουμε αυτές τις δύο έννοιες.

Ένα μήτρα δεν είναι τίποτα περισσότερο από ένα σύνολο αριθμών ή αλγεβρικά σύμβολα τοποθετημένα σε οριζόντιες και κάθετες γραμμές και διευθετημένα με τη μορφή ενός ορθογωνίου. Για το θέμα μας θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα ως έναν πιο απλοποιημένο τρόπο έκφρασης του συστήματος των εξισώσεων.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Θα είναι το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων

Αυτό το απλό σύστημα εξισώσεων που μπορούμε να συνοψίσουμε είναι η λειτουργία δύο 2 × 2 μητρών που οδηγεί σε μια μήτρα 2 × 1.

Ο πρώτος πίνακας αντιστοιχεί σε όλους τους συντελεστές, η δεύτερη μήτρα είναι τα άγνωστα που πρέπει να λυθούν και η μήτρα που βρίσκεται μετά την αναγνώριση της ισότητας με τους ανεξάρτητους όρους των εξισώσεων

Το καθοριστικός παράγοντας είναι μια λειτουργία που εφαρμόζεται σε ένα πλέγμα του οποίου το αποτέλεσμα είναι ένας πραγματικός αριθμός.

Στην περίπτωση του πίνακα που βρήκαμε στο προηγούμενο παράδειγμα μας, ο καθοριστικός του παράγοντας θα ήταν:

Μόλις καθοριστούν οι έννοιες της μήτρας και του προσδιοριστικού παράγοντα, μπορούμε να εξηγήσουμε ποια είναι η μέθοδος Cramer.

Με αυτή τη μέθοδο, μπορούμε εύκολα να λύσουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων εφόσον το σύστημα δεν υπερβαίνει τις τρεις εξισώσεις με τρία άγνωστα δεδομένου ότι ο υπολογισμός των προσδιοριστών μιας μήτρας είναι πολύ δύσκολος για μήτρες 4 × 4 ή μεγαλύτερες. Στην περίπτωση που έχουμε ένα σύστημα με περισσότερες από τρεις γραμμικές εξισώσεις, συνιστάται η μέθοδος εξάλειψης του Gauss-Jordan.

Συνεχίζοντας με το προηγούμενο παράδειγμα, μέσω του Cramer πρέπει απλά να υπολογίσουμε δύο καθοριστικούς παράγοντες και με αυτό θα βρούμε την αξία των δύο άγνωστων.

Έχουμε το σύστημά μας:

Και έχουμε ένα σύστημα που αντιπροσωπεύεται από μήτρες:

Η τιμή του X βρίσκεται:

Απλώς στον υπολογισμό του καθοριστικού παράγοντα που βρίσκεται στον παρονομαστή της διαίρεσης, αντικαταστήσαμε την πρώτη κοινότητα για τη μήτρα ανεξάρτητων όρων. Και στον παρονομαστή της διαίρεσης έχουμε τον καθοριστικό παράγοντα της αρχικής μας μήτρας.

Εκτελώντας τους ίδιους υπολογισμούς για να βρούμε το Υ λαμβάνουμε:

Εξάλειψη του Gauss-Jordan

Ορίζουμε εκτεταμένη μήτρα στο πλέγμα που προκύπτει από ένα σύστημα εξισώσεων όπου προσθέτουμε τους ανεξάρτητους όρους στο τέλος της μήτρας.

Η μέθοδος εξάλειψης του Gauss-Jordan συνίσταται, μέσω πράξεων μεταξύ των σειρών της μήτρας, να μετατρέψουμε το εκτεταμένο μας πλέγμα σε μια πολύ απλούστερη μήτρα, όπου έχω μηδενικά σε όλα τα πεδία εκτός από τη διαγώνιο, όπου πρέπει να αποκτήσω κάποια. Ως εξής:

Όπου X και Y θα είναι πραγματικοί αριθμοί που αντιστοιχούν στα άγνωστα μας.

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα εξαλείφοντας τον Gauss-Jordan:

Έχουμε ήδη καταφέρει να αποκτήσουμε ένα μηδέν στο κάτω αριστερό μέρος του πίνακα μας, το επόμενο βήμα είναι να πάρουμε ένα 0 στο πάνω δεξιά μέρος του.

Έχουμε επιτύχει 0 στο πάνω αριστερό άκρο της μήτρας, τώρα πρέπει μόνο να μετατρέψουμε τη διαγώνιο σε αυτές και έχουμε ήδη λύσει το σύστημά μας από τον Gauss-Jordan.

Συνεπώς, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι:

Αναφορές

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων (χωρίς ημερομηνία). Ανάκτηση από uco.es.
4. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Κεφάλαιο 7. (χωρίς ημερομηνία). Ανακτήθηκε από το sauce.pntic.mec.es.
5. Γραμμική Άλγεβρα και Γεωμετρία (2010/2011). Συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Κεφάλαιο 1. Τμήμα Άλγεβρας. Πανεπιστήμιο της Σεβίλλης. Ισπανία Ανάκτηση από το algebra.us.es.