10 Μέθοδοι Factoring στα Μαθηματικά

Το παραγοντοποίηση είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά για την απλοποίηση μιας έκφρασης που μπορεί να περιέχει αριθμούς, μεταβλητές ή συνδυασμό δύο.

Για να μιλήσει για factoring, ο μαθητής πρέπει πρώτα να βυθιστεί στον κόσμο των μαθηματικών και να κατανοήσει ορισμένες βασικές έννοιες.

Οι σταθερές και οι μεταβλητές είναι δύο θεμελιώδεις έννοιες. Μια σταθερά είναι ένας αριθμός, ο οποίος μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Ο αρχάριος συνήθως έχει προβλήματα να λύσει με ολόκληρους αριθμούς που είναι ευκολότερο να χειριστεί, αλλά αργότερα αυτό το πεδίο επεκτείνεται σε οποιαδήποτε πραγματική και ακόμη πολύπλοκη ποσότητα.

Από την πλευρά του, μας λένε συχνά ότι η μεταβλητή είναι "x", και παίρνει οποιαδήποτε αξία. Αλλά αυτή η έννοια είναι λίγο σύντομη. Για να το αφομοιώσουμε καλύτερα, ας φανταστούμε ότι ταξιδεύουμε σε ένα άπειρο δρόμο προς μια δεδομένη κατεύθυνση.

Κάθε στιγμή προχωρούμε διαμέσου αυτής και είναι η απόσταση που ταξιδεύσαμε από τότε που ξεκινήσαμε τον περίπατό μας που μας λέει τη θέση μας. Η θέση μας είναι η μεταβλητή.

Τώρα, αν περπατούσατε 300 μέτρα σε αυτόν τον δρόμο, αλλά περπάτησα 600 αντί, μπορώ να πω ότι η θέση μου είναι 2 φορές δική σας, δηλαδή I = 2 * εσείς. Οι μεταβλητές της εξίσωσης είναι YOU και ME και η σταθερά είναι 2. Αυτή η σταθερή τιμή είναι ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει την μεταβλητή.

Όταν έχουμε πιο περίπλοκες εξισώσεις, χρησιμοποιούμε παραγοντοποίηση, που είναι να εξαγάγουμε τους παράγοντες που είναι σύνηθες για την απλοποίηση της έκφρασης, για να διευκολύνουμε την επίλυση ή για να μπορέσουμε να κάνουμε αλγεβρικές λειτουργίες μαζί της.

Factoring σε πρωταρχικούς αριθμούς

Ένας πρώτος αριθμός είναι ένας ακέραιος που διαιρείται μόνο από μόνη της και από τη μονάδα. Ο αριθμός ένα δεν θεωρείται πρωταρχικός αριθμός.

Οι πρώτοι αριθμοί είναι 2, 3, 5, 7, 11 ... κλπ. Ένας τύπος για τον υπολογισμό ενός πρώτου αριθμού δεν υπάρχει μέχρι τώρα, έτσι ώστε να γνωρίζουμε εάν ένας αριθμός είναι πρωταρχικός ή όχι, πρέπει να προσπαθήσετε να παράγοντας και να δοκιμάσετε.

Για να υπολογίσουμε έναν αριθμό στους πρώτους αριθμούς, πρέπει να βρούμε τους αριθμούς που πολλαπλασιάζονται και προστίθενται και μας δίνουν τον δεδομένο αριθμό. Για παράδειγμα, αν έχουμε τον αριθμό 132, το καταρρέουμε με τον ακόλουθο τρόπο:

Με αυτό τον τρόπο, υπολογίσαμε το 132 ως τον πολλαπλασιασμό των prime numbers.

Πολυώνυμα

Ας επιστρέψουμε στο δρόμο

Τώρα όχι μόνο εσείς και εγώ βαδίζουμε στο δρόμο. Υπάρχουν και άλλοι άνθρωποι. Κάθε μία από αυτές αντιπροσωπεύει μια μεταβλητή. Και όχι μόνο συνεχίζουμε να περπατάμε στο δρόμο, αλλά μερικοί από αυτούς παραβιάζουν και ξεφεύγουν από το δρόμο. Περπατάμε στο αεροπλάνο και όχι στην ευθεία.

Για να περιπλέξουμε λίγο περισσότερο, μερικοί άνθρωποι όχι μόνο διπλασιάζουν ή πολλαπλασιάζουν την ταχύτητά μας με έναν παράγοντα, αλλά θα μπορούσαν να είναι τόσο γρήγοροι όσο η πλατεία ή ο κύβος ή η πολυσύχναστη δύναμη μας.

Θα ονομάσουμε το νέο πολυώνυμο έκφρασης, καθώς εκφράζει πολλές μεταβλητές την ίδια στιγμή. Ο βαθμός του πολυωνύμου δίνεται από τον υψηλότερο εκθέτη της μεταβλητής του.

Δέκα περιπτώσεις factoring

1- Για να υπολογίσουμε ένα πολυώνυμο, κοιτάμε ξανά για κοινούς παράγοντες (που επαναλαμβάνονται) στην έκφραση.

2- Είναι πιθανό ότι ο κοινός παράγοντας είναι ο ίδιος ένα πολυώνυμο, για παράδειγμα:

3- Τέλειο τετράγωνο τετράγωνο. Ονομάζεται έκφραση που προκύπτει από τετραγωνισμό ενός διωνυμικού.

4- Διαφορά τέλειων τετραγώνων. Εμφανίζεται όταν η έκφραση είναι η αφαίρεση δύο όρων που έχουν ακριβή τετραγωνική ρίζα:

5- Τέλειο τετραγωνικό τετράγωνο με προσθήκη και αφαίρεση. Εμφανίζεται όταν η έκφραση έχει τρεις όρους. μερικά από αυτά είναι τέλεια τετράγωνα και το τρίτο συμπληρώνεται με ένα άθροισμα έτσι ώστε να είναι διπλάσιο από το προϊόν των ριζών.

Θα ήταν επιθυμητό να είναι της μορφής

Στη συνέχεια, προσθέτουμε τους λείπει όρους και αφαιρούμε τους, έτσι ώστε να μην αλλάξουμε την εξίσωση:

Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε:

Τώρα εφαρμόζουμε το άθροισμα των τετραγώνων που λέει:

Πού:

6- Τρινοειδής μορφή:

Στην περίπτωση αυτή, εκτελείται η ακόλουθη διαδικασία:

Παράδειγμα: είναι το πολυώνυμο

Το σημείο θα εξαρτηθεί από το ακόλουθο: Στο πρώτο από τα στοιχεία, το σημείο θα έχει το ίδιο με το δεύτερο από τους όρους της τρινωλίας, στην περίπτωση αυτή (+2). στον δεύτερο από τους παράγοντες, θα έχει το αποτέλεσμα του σημείου του πολλαπλασιασμού των σημείων του δεύτερου και του τρίτου παράγοντα του τριωνυμικού (+12). (+ 36)) = + 432.

Εάν τα σημάδια αποδειχθούν τα ίδια και στις δύο περιπτώσεις, θα αναζητήσουμε δύο αριθμούς που προσθέτουν τον δεύτερο όρο και το προϊόν ή ο πολλαπλασιασμός είναι ίσος με τον τρίτο από τους όρους της τρινωμίας:

k + m = b; k.m = c

Από την άλλη πλευρά, αν τα σημεία δεν είναι ίσα, πρέπει να αναζητηθούν δύο αριθμοί έτσι ώστε η διαφορά να είναι ίση με τον δεύτερο όρο και ο πολλαπλασιασμός του να έχει ως αποτέλεσμα την αξία του τρίτου όρου.

k-m = b; k.m = c

Στην περίπτωσή μας:

Στη συνέχεια παραμένει η παραγοντοποίηση:

Ολόκληρο το τριωμικό πολλαπλασιάζεται επί τον συντελεστή a.

Το τρινωμικό θα αναλυθεί σε δύο διωνυμικούς παράγοντες, του οποίου ο πρώτος όρος είναι η ρίζα του τετραγωνικού όρου

Οι αριθμοί s και p είναι τέτοιοι ώστε το άθροισμα τους να είναι ίσο με το συντελεστή 8 και τον πολλαπλασιασμό τους σε 12

8- Το άθροισμα ή η διαφορά της n-εξουσίας. Είναι η περίπτωση της έκφρασης:

Και ο τύπος ισχύει:

Στην περίπτωση της διαφοράς ισχύος, ανεξάρτητα από το εάν το n είναι ζυγό ή παράξενο, ισχύουν τα εξής:

Παραδείγματα:

9- Τέλειος κύβος τετρανομικών. Με την προηγούμενη περίπτωση, συνάγονται οι τύποι:

10- Διαχωριστές διχμών:

Όταν υποθέτουμε ότι ένα πολυώνυμο είναι αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού διαφόρων διωνυμίων μεταξύ τους, εφαρμόζεται αυτή η μέθοδος. Αρχικά προσδιορίζονται τα μηδενικά του πολυωνύμου.

Τα μηδενικά ή οι ρίζες είναι οι τιμές που καθιστούν την εξίσωση μηδενική. Κάθε παράγοντας δημιουργείται με το αρνητικό της ρίζας, για παράδειγμα, αν το πολυώνυμο P (x) γίνει μηδέν για x = 8, τότε ένα από τα binomial που το συνθέτουν θα είναι (x-8). Παράδειγμα:

Οι διαιρέτες του ανεξάρτητου όρου 14 είναι ± 1, ± 2, ± 7 και ± 14, επομένως αξιολογείται για να διαπιστωθεί αν τα διωνυμικά:

Είναι διαιρέτες του πολυωνύμου.

Αξιολόγηση για κάθε ρίζα:

Στη συνέχεια, η έκφραση παραγοντοποιείται με τον ακόλουθο τρόπο:

Το πολυώνυμο αξιολογείται ως προς τις τιμές:

Όλες αυτές οι μέθοδοι απλοποίησης είναι χρήσιμες για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων σε διάφορους τομείς, οι αρχές των οποίων βασίζονται σε μαθηματικές εκφράσεις όπως η φυσική, η χημεία κλπ., Γι 'αυτό είναι ζωτικής σημασίας εργαλεία σε καθεμία από αυτές τις επιστήμες και τις ειδικές τους ειδικότητες..

Αναφορές

1. Integer Factorization. Ανακτήθηκε από: academickids.com
2. Vilson, J. (2014). Edutopia: Πώς να διδάξετε τα παιδιά σχετικά με το Factoring στο πολυώνυμο.
3. Βασικό Θεώρημα Αριθμητικής. Ανακτήθηκε από: mathisfun.com.
4. Οι 10 περιπτώσεις παραγοντοποίησης. Ανακτήθηκε από: teffymarro.blogspot.com.
5. Πολυωνύμια Factoring. Ανακτήθηκε από: jamesbrennan.org.
6. Factoring πολυώνυμα τρίτου βαθμού. Ανακτήθηκε από: blog.aloprofe.com.
7. Πώς να υπολογίσουμε ένα κυβικό πολυώνυμο. Ανακτήθηκε από: wikihow.com.
8. Οι 10 περιπτώσεις παραγοντοποίησης. Ανακτήθηκε από: taringa.net.